Hệ thống kiến thức trọng tâm về Tìm điểm đối xứng trong không gian theo CTGDPT 2018

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P):6x−2y+z−35=0  và điểm A(−1;3;6).  Gọi A′  là điểm đối xứng với A  qua (P) , tính OA′. 

+A′  đối xứng với A  qua (P)  nên AA′  vuông góc với (P) 

+Suy ra phương trình đường thẳngAA′ :⎩⎪⎨⎪⎧​​x=−1+6ty=3−2tz=6+t​ 

+Gọi H  là giao điểm của AA′  và mặt phẳng (P) ⇒H(−1+6t;3−2t;6+t) 

+ Do H  thuộc (P) ⇒6(−1+6t)−2(3−2t)+1(6+t)−35=0  ⇔41t−41=0⇔t=1⇒H(5;1;7) 

+A′  đối xứng với A  qua (P)  nên H  là trung điểm củaAA′  ⇒A′(11;−1;8)⇒OA′=√112+(−1)2+82​=√186 .

Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d:1x+1​=2y+3​=2z+2​  và điểm A(3;2;0) . Điểm đối xứng của điểm A  qua đường thẳng d  có tọa độ là

Gọi (P)  là mặt phẳng đi qua A  và vuông góc với đường thẳng d .

Phương trình của mặt phẳng (P) là: 1(x−3)+2(y−2)+2(z−0)=0  ⇔x+2y+2z−7=0 .

Gọi H  là hình chiếu của A  lên đường thẳng d , khi đó H=d∩(P)  Suy ra H∈d⇒H(−1+t;−3+2t;−2+2t) , mặt khác H∈(P)  ⇒−1+t−6+4t−4+4t−7=0  ⇒t=2 .

Vậy H(1;1;2) . Gọi A′  là điểm đối xứng với A  qua đường thẳng d , khi đó H là trung điểm của AA′  suy ra A′(−1;0;4) .