Tích phân

1. Định nghĩa

Định nghĩa: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b] thì hiệu số F(b)−F(a) gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu a∫b​f(x)dx  và được xác định bởi công thức:

a∫b​f(x)dx=F(x)∣∣∣∣∣​​ba​=F(b)−F(a) 

Chú ý:

• Trường hợp a=b:  a∫a​f(x)dx=0 
• Trường hợp a>b: a∫b​f(x)dx=−b∫a​f(x)dx 
• Tích phân không phụ thuộc vào biến số x hay t, nghĩa là a∫b​f(x)dx=a∫b​f(t)dt. 

Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên [a;b] thì a∫b​f(x)dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y=f(x), trục hoành, hai đường thẳng x=a và x=b  (phần gạch sọc ở hình bên)

Một số lưu ý:

• Nếu f(x)≤0,∀x∈[a;b] thì a∫b​f(x)dx=−S 
• Giả sử f(x) liên tưc trên [a;c] và có đồ thị như hình bên. Gọi S1​,S2​  lần lượt là phần diện tích giới hạn bởi đồ thi y=f(x) với trục hoành (hình vẽ). Khi đó:

a∫c​f(x)dx=a∫b​f(x)dx+b∫c​f(x)dx=S1​−S2​ 

2. Các tính chất của tích phân

Tính chất 1: Cho hai hàm số y=f(x),y=g(x) liên tục trên đoạn [a;b] . Khi đó:

• a∫a​f(x)dx=0 
• a∫b​f(x)dx=−b∫a​f(x)dx 
• a∫b​[f(x)+g(x)]dx=a∫b​f(x)dx+a∫b​g(x)dx 
• a∫b​[f(x)−g(x)]dx=a∫b​f(x)dx−a∫b​g(x)dx 

Tính chất 2: Cho hàm số y=f(x)  liên tục trên đoạn [a;b] , k  là số thực. Khi đó: a∫b​kf(x)dx=ka∫b​f(x)dx 

Tính chất 3: Cho hàm số y=f(x)  liên tục trên đoạn [a;b] , c∈(a;b). Khi đó:

a∫b​f(x)dx=a∫c​f(x)dx+c∫b​f(x)dx 

Mở rộng: Giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x)  trên đoạn [a;b]  được định nghĩa là:

b−a1​a∫b​f(x)dx