Hệ thống kiến thức trọng tâm về Ứng dụng vector vào giải tam giác theo CTGDPT 2018

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\)  cho tam giác \(ABC\)  với \(\vec{A}\left( 2;3 \right)\) , \(\vec{B}\left( 4;5 \right)\)  và \(\vec{C}\left( 4;2 \right)\) .Tìm tọa độ điểm \(I\)  là chân đường phân giác trong góc \(C\)  của tam giác \(ABC\)

Ta có: \(\overrightarrow{CA}=\left( 2;-1 \right),~\overrightarrow{CB}=\left( 0;~-3 \right).\)  Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có \(\frac{IA}{IB}=\frac{CA}{CB}=\frac{\sqrt{5}}{3}.\)

Vì \(I\)  nằm giữa hai điểm \(A,\text{ }B\)  nên \(\overrightarrow{IA}=-\frac{\sqrt{5}}{3}~\overrightarrow{IB}.~\) \(\left( * \right)\)

Gọi \(I\left( x;y \right)\) . Ta có \(\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IA}=\left( 2-x;3-y \right) \\ \overrightarrow{IB}=\left( 4-x;5-y \right) \\ \end{matrix} \right.\)

Từ \(\left( * \right)\) , suy ra \(\left\{ \begin{matrix} 2-x=-\frac{\sqrt{5}}{3}\left( 4-x \right) \\ 3-y=-\frac{\sqrt{5}}{3}\left( 5-y \right) \\ \end{matrix}\left\{ \begin{matrix} x=\frac{-1+3\sqrt{5}}{2} \\ y=\frac{1+3\sqrt{5}}{2} \\ \end{matrix}. \right. \right.\)

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\)  cho tam giác \(OAB\)  với \(A\left( 2;3 \right)\)  và \(B(4;3\) ). Tìm tọa độ điểm \(E\)  là chân đường phân giác trong góc \(O\)  của tam giác \(OAB.\)

Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có \(\frac{EA}{EB}=\frac{OA}{OB}=\frac{\sqrt{13}~}{5}.\)  Vì \(E\)  nằm giữa hai điểm \(A,\text{ }B\)  nên \(\overrightarrow{EA}=-\frac{\sqrt{13}}{5}~\overrightarrow{EB}.~$$\left( * \right)\)

Gọi \(E\left(x;y\right).\)  Ta có \(\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{EA}=\left(2-x;3-y\right)\\ \overrightarrow{EB}=\left(4-x;3-y\right)\end{matrix}\right.\) 

Từ \(\left( * \right)\) , suy ra \(\left\{\begin{matrix}2-x=-\frac{\sqrt{13}}{5}\left(4-x\right)\\ 3-y=-\frac{\sqrt{13}}{5}\left(3-y\right)\end{matrix}\left\{\begin{matrix}x=\frac{-1+5\sqrt{13}}{6}\\ y=\frac{15-3\sqrt{13}}{5-\sqrt{13}}\end{matrix}.\right.\right.\)