1. Bài giảng: Phương trình đường tròn
Phương trình đường tròn
1. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( a;b \right)\) bán kính \(R\)
Phương trình có dạng : \({{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{R}^{2}}\)
Phương trình \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0\) với \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c>0\) là phương trình đường tròn tâm \(I\left( a;b \right)\) bán kính \(R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c}.\)
2. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
đường thẳng \(\left( D \right):Ax+By+C=0\) và đường tròn \(\left( C \right):{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{R}^{2}}\) có tâm \(I\left( a;b \right)\)
- \(\left( D \right)\cap \left( C \right)=\left\{ M;N \right\}\Leftrightarrow d\left( I;\left( D \right) \right)<R\)
- \(\left( D \right)\cap \left( C \right)=\left\{ M \right\}\Leftrightarrow d\left( I;\left( D \right) \right)=R\)
- \(\left( D \right)\cap \left( C \right)=\varnothing \Leftrightarrow d\left( I;\left( D \right) \right)>R\)
3. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
a.Viết phương trình tiếp tuyến \(\left( D \right)\) với \(\left( C \right)\) tại điểm \({{M}_{0}}\in \left( C \right)\)
Bước 1: Tìm tọa độ tâm \(I\) của \(\left( C \right).\)
Bước 2: Tiếp tuyến \(\left( D \right)\) là đường thẳng đi qua \({{M}_{0}}\) và có VTPT là \(\overrightarrow{{{M}_{0}}I}\)
b. Viết phương trình tiếp tuyến \(\left( D \right)\) với \(\left( C \right)\) tại điểm \({{M}_{0}}\notin \left( C \right)\)
Bước 1: Tìm tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của \(\left( C \right).\)
Bước 2: \(\left( D \right)\) là đường thẳng đi qua \({{M}_{0}}\) nên có dạng \(a\left( x-{{x}_{0}} \right)+b\left( y-{{y}_{0}} \right)=0\)
Bước 3: \(\left( D \right)\) tiếp xúc với \(\left( C \right)\Leftrightarrow d\left( I;\left( D \right) \right)=R\left( * \right)\) . Giải \(\left( * \right)\) tìm được mối liên hệ giữa \(a\And b\) . Chọn \(a\And b\) phù hợp để kết luận.
c.Viết phương trình tiếp tuyến \(\left( D \right)\) với \(\left( C \right)\) biết \(\left( D \right)\) song song với \(\left( {{D}_{1}} \right):Ax+By+C=0\)
Bước 1: Tìm tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của \(\left( C \right).\)
Bước 2: \(\left( D \right)\parallel $$\left( {{D}_{1}} \right):Ax+By+C=0~\) nên phương trình có dạng \(Ax+By+C'=0\left( C'\ne C \right)\)
Bước 3: \(\left( D \right)\) tiếp xúc với \(\left(C\right)\Leftrightarrow d\left(I;\left(D\right)\right)=R\left(*\right)\text{.}\) Giải \(\left( * \right)\) tìm được \(C'\) so với đk để kết luận.
d. Viết phương trình tiếp tuyến \(\left( D \right)\) với \(\left( C \right)\) biết \(\left( D \right)\) vuông góc với \(\left( {{D}_{1}} \right):Ax+By+C=0\)
Bước 1: Tìm tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của \(\left( C \right).\)
Bước 2: \(\left( D \right)\bot $$\left( {{D}_{1}} \right):Ax+By+C=0~\) nên phương trình có dạng \(Bx-Ay+C'=0\)
Bước 3: \(\left( D \right)\) tiếp xúc với \(\left(C\right)\Leftrightarrow d\left(I;\left(D\right)\right)=R\left(*\right)\text{.}\) Giải \(\left( * \right)\) tìm được \(C'\) so với đk để kết luận.
4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
đường tròn \(\left( {{C}_{1}} \right)\) có tâm \({{I}_{1}},\) bán kính \({{R}_{1}}\) và đường tròn \(\left( {{C}_{2}} \right)\) có tâm \({{I}_{2}},\) bán kính \({{R}_{2}}\text{.}\) Giả sử \({{R}_{1}}>{{R}_{2}}\text{.}\) Ta có:
- Hai đường tròn tiếp xúc \(\Leftrightarrow {{I}_{1}}{{I}_{2}}=\left| {{R}_{1}}\pm {{R}_{2}} \right|\)
- Hai đường tròn cắt nhau \({{R}_{1}}-{{R}_{2}}<{{I}_{1}}{{I}_{2}}<{{R}_{1}}+{{R}_{2}}\)
2. Ví dụ minh hoạ: Phương trình đường tròn
Ví dụ 1:
Cho phương trình \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2mx-4\left( m-2 \right)y+6-m=0\text{ }\left( 1 \right)\) . Tìm điều kiện của \(m\) để \(\left( 1 \right)\) là phương trình đường tròn.
Lời giải:
Ta có: \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2mx-4\left( m-2 \right)y+6-m=0\to \left\{ \begin{aligned} & a=m \\ & b=2\left( m-2 \right) \\ & c=6-m \end{aligned} \right.\to {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c>0\)
\(\Leftrightarrow 5{{m}^{2}}-15m+10>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & m<1 \\ & m>2 \end{aligned} \right..\)
Ví dụ 2:
Điểm nào sau đây thuộc đường tròn \(\left( C \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=16\) là:
Lời giải:
\(C\left( 2;1 \right)\).
3. Luyện tập củng cố: Phương trình đường tròn
Học đi đôi với hành, luyện tập hàng ngày để trở nên thông thái
Luyện tập ngay