SỐ VÔ TỈ. TẬP HỢP SỐ THỰC

1. Số vô tỉ

- Số vô tỉ là số được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

2. Số thực

- Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực.

- Tập hợp các số thực kí hiệu là R. 

Chú ý:

- Cũng như số hữu tỉ, mỗi số thực a  đều có một số đối kí hiệu là −a. 

- Trong tập số thực cũng có các phép toán với các tính chất như trong tập số hữu tỉ.

- Mỗi số thực đều được biểu diễn bởi một điểm trên trục số. Ngược lại, mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực.

3. Thứ tự trong tập hợp các số thực

- Các số thực đều viết được dưới dạng số thập phân (hữu hạn hoặc vô hạn). Vì thế ta có thể so sánh hai số thực tương tự như so sánh hai số hữu tỉ viết dưới dạng số thập phân.

- Cũng như số hữu tỉ ta có:

• Với hai số thực a và b bất kì ta luôn có a=b hoặc a<b hoặc a>b. 
• Cho ba số thực a,b,c. Nếu a<b và b<c thì a<c (tính chất bắc cầu).

- Trên trục số thực, nếu a<b thì điểm a nằm trước điểm b. Các điểm nằm trước gốc O biểu diễn số âm, các điểm nằm sau gốc O biểu diễn các số dương. Bởi vậy, ta viết x<0  để nói x  là số âm, viết x>0 để nói x là số dương.

Chú ý: Nếu 0<a<b thì √a<√b. Ta thường dùng tính chất này để so sánh một căn bậc hai số học vưới một số hữu tỉ hoặc so sánh hai căn bậc hai số học với nhau.

4. Giá trị tuyệt đối của một số thực

a) Khái niệm

- Khoảng cách từ điểm a  trên trục số đến gốc O là giá trị tuyệt đối của a, kí hiệu ∣a∣. 

b) Nhận xét

- Hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau.

- Giá trị tuyệt đối của 0 là 0. 

- Giá trị tuyệt đối của một số dương là chính nó.

- Giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó.

c) Tổng quát

- Nếu a≥0 thì ∣a∣=a. 

- Nếu a<0 thì ∣a∣=−a. 

- Nếu x−a≥0 thì ∣x−a∣=x−a. 

- Nếu x−a<0 thì ∣x−a∣=a−x. 

d) Chú ý

- Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm ∣a∣≥0 với mọi a∈R. 

- Hai số đối nhau hoặc bằng nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau.

- Trong hai số âm, số nào nhỏ hơn thì giá trị tuyệt đối lớn hơn.

- Trong hai số dương, số nào lớn hơn thì giá trị tuyệt đối lớn hơn.

e) Mở rộng

- Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối:

∣a.b∣=∣a∣.∣b∣. 

- Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối:

∣∣∣​ba​∣∣∣​=∣b∣∣a∣​. 

- Bình phương giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó: 

∣a∣2=a2. 

- Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai số.

∣a∣+∣b∣≥∣a+b∣.