Góc và tích vô hướng của 2 vector

1. Định nghĩa góc giữa hai vectơ

• Cho hai vectơ \(\overrightarrow{u}\)  và \(\overrightarrow{v}\)  khác vectơ \(\overrightarrow{0}\,\text{.}\) Từ một điểm A tuỳ ý, vẽ các vec tơ \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}\)  và \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}\)  Khi đó số đo của góc BAC được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ \(\vec{u},\vec{v}\) , kí hiệu là \(\left( \vec{u},\vec{v} \right).\) 

Chú ý:
+ Quy ước rằng góc giữa hai vectơ \(\vec{u}\)  và \(\vec{0}\) có thể nhận một giá trị tuỳ ý từ \({{0}^{\circ }}\) đến \({{180}^{\circ }}.\) 
+ Nếu \(\left( \vec{u},\vec{v} \right)={{90}^{\circ }}\) thì ta nói rằng \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) vuông góc với nhau, kí hiệu là \(\overrightarrow{u}\bot \vec{v}\)  hoặc \(\overrightarrow{v}\bot \vec{u}.\) 
+ Đặc biệt vectơ \(\vec{0}\) được coi là vuông góc với mọi vectơ.

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không \(\overrightarrow{u}\)  và \(\overrightarrow{v}\)  là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\)  được xác định bởi công thức sau: \(\vec{u}.\vec{v}=\left| {\vec{u}} \right|.\left| {\vec{v}} \right|.cos\left( \vec{u},\vec{v} \right).\) 

Chú ý:
+ \(\overrightarrow{u}\bot \overrightarrow{v}\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0.\)  hoặc \(\overrightarrow{v}\bot \vec{u}.\)  Tích \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}\)  còn được viết là \({{\overrightarrow{u}}^{2}}\)  và được gọi là bình phương vô hướng của \(\overrightarrow{u}.\)+  Ta có \({{\vec{u}}^{2}}=\left| {\vec{u}} \right|.\left| {\vec{u}} \right|.cos{{0}^{\circ }}={{\left| {\vec{u}} \right|}^{2}}.\) 
+ Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec{u}(x;y)\) và \(\vec{v}({x}';{y}')\)  được tính theo công thức: \(\vec{u}.\vec{v}=x.{x}'+u.{u}'\) 

3. Biểu thức toạ độ và tính chất của tích vô hướng

• Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec{u}(x;y)\) và \(\vec{v}({x}';{y}')\)  được tính theo công thức:

\(\vec{u}.\vec{v}=x.{x}'+u.{u}'\) 

Nhận xét

• Hai vectơ \(\vec{u}\)  và \(\vec{v}\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(x.{x}'+y.{y}'=0.\)  Bình phương vô hướng của vectơ \(\vec{u}(x;y)\) là \({{\vec{u}}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}.\) 
• Nếu \(\vec{u}\ne \vec{0}\)  và \(\vec{v}\ne \vec{0}\)  thì \(\text{cos}\left( \vec{u},\vec{v} \right)=\frac{\vec{u}.\vec{v}}{\left| {\vec{u}} \right|.\left| {\vec{v}} \right|}=\frac{x{x}'+y{y}'}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}.\sqrt{{{{{x}'}}^{2}}+{{{{y}'}}^{2}}}}.\) 

Tính chất

• Với ba vectơ \(\overrightarrow{u},\text{ }\overrightarrow{v},\text{ }\overrightarrow{w}\) bất kì và mọi số thực k ta có: \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}\)  ( tính chất giao hoán);
• \(\overrightarrow{u}.\left( \overrightarrow{v}+\overrightarrow{w} \right)=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}\)  ( Tính chất phân phối đối với phép cộng);
• \(\left( k\overrightarrow{u} \right).\overrightarrow{v}=k\left( \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} \right)=\overrightarrow{u}.\left( k\overrightarrow{v} \right).\)