TỌA ĐỘ VECTOR VÀ CÁC PHÉP TOÁN VETOR TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

Ghi nhớ 1

1. Trục và độ dài đại số trên trục

• Trục toạ độ \(\left(O;\,\,\vec{e}\right)\)

• Toạ độ của điểm trên trục: Cho \(M\) trên trục \((O;\,\vec{e})\) 

• \(k\) là toạ độ của \(\overrightarrow{OM}=k\vec{e}\) 
• Độ dài đại số của vectơ: Cho \(A,B\) trên trục (O;\(\vec{e}\) ).
• \(a=\overline{AB}\,\,\Leftrightarrow\,\overrightarrow{\,AB}=a\vec{e}\)   

Nhận xét:

• \(\overrightarrow{AB}\) cùng hướng \(\vec{e}\,\Leftrightarrow\overline{AB}\,>0\) 
• \(\overrightarrow{AB}\) ngược hướng \(\vec{e}\,\Leftrightarrow \,\overline{AB}<0\)
• Nếu \(A(a), B(b)\) thì \(\overline{AB}\,=b-a\)  
• \(AB=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overline{AB}\right|=\left|b-a\right|\)   
• Nếu \( A(a), B(b), I \) là trung điểm của \(AB\) thì \(I\left( \frac{a+b}{2} \right)\) 
• Nếu \(\overrightarrow{AB}\)  cùng hướng với \(\overrightarrow{i}\) thì \(\overline{AB}\,=AB,\) còn nếu \(\overrightarrow{AB}\) ngược hướng với \(\overrightarrow{i}\) thì \(\overline{AB}\,=-\,AB.\)  
• Nếu hai điểm \(A\) và \(B\) trên trục \(\left(O;\overrightarrow{i}\right)\) có tọa độ lần lượt là \(a\) và \(b\) thì \(\overline{AB}\,=b-a.\)  

2. Hệ trục toạ độ

Định nghĩa:

• Hệ trục toạ độ \(\left(O\,;\,\vec{i};\,\vec{j}\right)\)
• gốc toạ độ
• Trục \(\left(O\,;\,\vec{i}\right):\) trục hoành \(Ox\) 
• Trục \(\left(O\,;\,\vec{j}\right):\) trục tung \(Oy\) 
•  \(\vec{i},\vec{j}\)  là các vectơ đơn vị
• Hệ \(\left( O;\vec{i};\vec{j} \right)\) còn kí hiệu \(Oxy\) 
• Mặt phẳng toạ độ \(Oxy\text{.}\) 

Ghi nhớ 2

1. Toạ độ của vectơ

• \(\vec{u}\,\,=(x;y)\Leftrightarrow\;\;\vec{u}\,\,=x\vec{i}+y\vec{j}\)    
•  Cho \(\vec{u}\,\,=(x;y),\;\;\vec{u}^{\prime}=(x^{\prime};y^{\prime})\)
•  \(\vec{u}\,\,=\,\,\vec{u}^{\prime}\;\Leftrightarrow\begin{cases}x=x^{\prime}\\ y=y^{\prime}\end{cases}\)  
• Mỗi vectơ được hoàn toàn xác định khi biết toạ độ của nó
•  \(\vec{i}\,\,=(1;0),\,\,\vec{j}=(0;1)\) 

2. Toạ độ của điểm

• \(M(x; y) ⇔ \overrightarrow{OM} = (x; y) \) 
• Nếu \(MM_{1} \perp Ox, \; MM_{2} \perp Oy \)  thì \(x = \overrightarrow{OM_{1}}, \; y = \overrightarrow{OM_{2}} $$\)   
• Nếu \(M \in Ox \) thì \(y_M = 0\) 
• \(M \in Oy\) thì \(x_M = 0\) 
• Độ dài của \(\overrightarrow{OM}\) là \(OM=\,\left| \overrightarrow{OM} \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\) 

3. Liên hệ giữa toạ độ của điểm và vectơ trong mặt phẳng

• Cho \(A(x_A; y_A), \; B(x_B; y_B).\) 
• \(\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A;\; y_B - y_A)\) 
• \(AB = \left|\overrightarrow{AB}\right| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\) 

4. Tọa độ của các vectơ \(\vec{u}\,+\,\vec{v},\;\vec{u}-\,\vec{v},\;k\vec{u}:\)   

• Cho \(\vec{u}\,=(u_1;u_2),\;\vec{v}=(v_1;v_2).\)  
• \(\vec{u}\,+\,\vec{v}=(u_1+v_1;\;u_2+v_2)\)  
• \(\vec{u}\,-\,\vec{v}=(u_1-v_1;\;u_2-v_2)\)  
• \(k\vec{u} = (ku_1;\; ku_2), \; k \in \mathbb{R}\) 

Nhận xét: Hai vectơ \(\vec{u} = (u_1; u_2), \; \vec{v} = (v_1; v_2)\)  với \(\vec{v} \neq \vec{0}\)  cùng phương \(\Leftrightarrow\;\exists k\in\mathbb{R}\)  sao cho: \(\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=k{{v}_{1}} \\ & {{u}_{2}}=k{{v}_{2}} \\ \end{align} \right.\)  

5. Toạ độ của trung điểm đoạn thẳng, của trọng tâm tam giác

• Cho \(A(x_A; y_A), \; B(x_B; y_B).\) \(I \) là trung điểm của \(AB \) thì:

\(x_I = \dfrac{x_A + x_B}{2}, \quad y_I = \dfrac{y_A + y_B}{2}\) 

• Cho \(\Delta ABC\) với \(A(x_{A};y_{A}),\;B(x_{B};y_{B}),\;C(x_{C};y_{C})\text{.}\) \(G \) là trọng tâm của \(\Delta ABC\)  thì:

\(\begin{cases} x_G = \dfrac{x_A + x_B + x_C}{3} \\[6pt] y_G = \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3} \end{cases}\)