Phân tích đa thức thành nhân tử

1. Phân tích một đa thức thành nhân tử

Phân tích một đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức đó thành tích của các đa thức khác.

2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:

2.1. Phương pháp đặt nhân tử chung.

Phương pháp giải:

- Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó biểu diễn được thành một tích của nhân tử chung đó với một đa thức khác: AB+AC+…=A(B+C+…). 

- Nhân tử chung được xác định như sau:

+ Phần hệ số thường là ƯCLN của các hệ số(trong trường hợp hệ số là số nguyên).

+ Phần biến là các biến chung có mặt trong tất cả các hạng tử với số mũ lớn nhất.

Ví dụ: 3x2y−6xy2=3xy(x−2y) 

2.2. Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức.

Phương pháp giải: Biến đổi các biểu thức về dạng hằng đẳng thức đã biết

A2−B2=(A−B)(A+B).    

(A+B)2=A2+2AB+B2.  

(A−B)2=A2−2AB+B2.  

(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3.  

(A−B)3=A3−3A2B+3AB2−B3.  

A3+B3=(A+B)(A2−AB+B2).  

A3−B3=(A−B)(A2+AB+B2). 

 Ví dụ:

a) x2−16=x2−42=(x−4)(x+4);

b) x2+4x+4=x2+2.x.2+22=(x+2)2; 

c) 9y2−6y+1=(3y)2−2.3y.1+12=(3y−1)2; 

d) x3−6x2+12x−8=x3−3.x2.2+3.x.22−23=(x−2)3. 

2.3. Phương pháp nhóm hạng tử.

Phương pháp giải:

- Nhóm một số hạng tử của đa thức với nhau một cách hợp lí để có thể đặt được nhân tử chung hoặc dùng được hằng đẳng thức đáng nhớ.

- Chú ý: Một đa thức có thể có nhiều cách nhóm.

Ví dụ:

​x2−2xy+y2−a2+2ab−b2​​​ 

 =(x2−2xy+y2)−(a2−2ab+b2)  

 =(x−y)2−(a−b)2  

=(x−y−a+b)(x−y+a−b); 

2.4. Các phương pháp khác.

* Phương pháp tách hạng tử:

1. Đa thức dang P(x)=ax2+bx+c 

- Bước 1. Tính tích a.c; 

- Bước 2. Phân tích a.c thành tích của các cặp số nguyên và chọn tích có hai thừa số mà tổng bằng b;

- Вước 3. Tách bx=mx+nx rồi nhóm các hạng tử để phân tích đa thức P(x) thành nhân tử.

2. Đa thức từ bậc ba trở lên người ta dùng phương pháp tìm nghiệm của đa thức với chú ý: Nếu đa thức f(x) có nghiệm x=a  thì nó chứa nhân tử (x−a) .

Ví dụ: Phân tích đa thức x2+4x+3 thành nhân tử

- Ta thấy: a=1;b=4;c=3 

- Do đó a.c=1.3=−1.(−3) và thấy 1+3=4=b nên tách 4x=x+3x 

- Suy ra: x2+4x+3=x2+x+3x+3=x(x+1)+3(x+1)=(x+1)(x+3) 

- Chú ý: ta cũng có thể tách số hạng tự do để tạo thành hằng đẳng thức:

x2+4x+3=(x2+4x+4)−1=(x+2)2−12  =(x+2−1)(x+2+1)=(x+1)(x+3) 

* PHƯƠNG PHÁP THÊM, BỚT HẠNG TỬ

Phương pháp giải: Khi nhận thấy đa thức gần tạo thành một hằng đẳng thức quen thuộc ta sẽ thêm (bớt) một hạng tử để nó trở thành hằng đẳng thức và tiếp tục phân tích đa thức đó thành nhân tử.

Ví dụ: Phân tích đa thức x3+3x−4 thành nhân tử

- Dùng máy tính cầm tay tìm được một nghiệm x=1 nên biết được đa thức khi phân tích thành nhân tử sẽ có một nhân tử là (x−1). 

- Từ đó ta biến đổi: x3+3x−4=x3−x2+x2−x+4x−4  =x2(x−1)+x(x−1)+4(x−1)=(x−1)(x2+x+4);    

*PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

Phương pháp giải: Khi một đa thức phức tạp hoặc có bậc cao, ta có thể đổi biến làm cho đa thức đơn giản hơn.

- Thường ta đặt các biểu thức giống nhau là biến mới.

Ví dụ: Phân tích đa thức (x2+3)2+2(x2+3)−3 thành nhân tử:

- Ta thấy đa thức đã cho có bậc cao gây khó khăn cho việc biến đổi. Nhận thấy có biểu thức x2+3 giống nhau nên ta đổi biến: a=x2+3 thì đa thức đã cho trở thành đa thức bậc hai quen thuộc.

- Ta có:

- Đặt x2+3=a, ta có (x2+3)2+2(x2+3)−3=a2+2a−3 

+ Biến đổi : a2+2a−3=a2+3a−a−3=a(a+3)−(a+3)=(a+3)(a−1) 

+ Suy ra (x2+3)2+2(x2+3)−3=(x2+2)(x2+6);