1. Bài giảng: Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và ứng dụng
BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
- x,y là bất phương trình có một trong các dạng: ax+by+c<0;ax+by+c>0;ax+by+c≤0;ax+by+c≥0 trong đó a,b,c là những số cho trước; a,b không đồng thời bằng 0 và x là các ẩn.
- Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp các điểm (x0;y0) sao cho ax0+by0+c<0 được gọi là miền nghiệm của bất phương trình ax0+by0+c<0.
2. Nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
- Xét bất phương trình ax+by+c<0. Mỗi cập số (x0;y0) thoả mãn ax0+by0+c<0 được gọi là một nghiệm của bất phương trình đã cho.
3. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
- Ta có thể biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax+by+c<0. như sau:
Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng Δ: ax+by+c=0.
Bước 2: Lấy một điểm (x0;y0) không thuộc Δ. Tính ax0+by0+c.
Bước 3: Kết luận
- Nếu ax0+by0+c<0 thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ Δ) chứa điểm (x0;y0).
- Nếu ax0+by0+c>0 thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ Δ) không chứa điểm (x0;y0).
Đối với các bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng ax+by+c≤0 (hoặc ax+by+c≥0 ) thì miền nghiệm là miền nghiệm của bất phương trình ax+by+c<0 (hoặc ax+by+c>0 ) kể cả bờ.
II. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
- Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
- Cặp số (x0;y0) là nghiệm của một hệ BPT bậc nhất hai ẩn khi (x0;y0) đồng thời là nghiệm của tất cả các BPT trong hệ đó.
2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phằng tọa độ
- Biểu diễn miền nghiệm của một hệ BPT bậc nhất hai ẩn:
Bước 1: Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ bằng cách gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm của nó.
Bước 2: Phần không bị gạch là miền nghiệm của hệ BPT.
3. Áp dụng vào bài toán thực tiễn
- Cho hệ BPT bậc nhất hai ẩn x,y có miền nghiệm là miền đa giác A1A2…An.
- Khi đó: Giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biể thức T(x;y)=mx+ny , với (x;y) là tọa độ các điểm thuộc miền đa giác A1A2… A đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.
Bước 1: Tìm miền đa giác A1A2...AiAi+1...An là miền nghiệm của hệ bất phương trình.
Bước 2: Tìm tọa độ các đỉnh A1 , A2 ,..., An .
Bước 3:Tính F(xi ; yi) trong đó Ai(xi ; yi) với i=1 , 2 ,..., n
Bước 4: Kết luận
- Giá trị lớn nhất M=i=1,2,...nmaxF(xi , yi).
- Giá trị lớn nhất m=i=1,2,...nminF(xi , yi).
2. Ví dụ minh hoạ: Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và ứng dụng
Ví dụ 1:
Khẩu phần dinh dưỡng hàng ngày cho người ăn kiêng cần cung cấp ít nhất 300 calo, 36 đơn vị vitamin A và 90 đơn vị vitamin C . Một tách thức uống X có giá 5 nghìn đồng và cung cấp 60 calo, 12 đơn vị vitamin A và 10 đơn vị vitamin C . Một tách thức uống Y có giá 6 nghìn đồng và cung cấp 60 calo, 6 đơn vị vitamin A và 30 đơn vị vitamin C . Mỗi ngày nên uống bao nhiêu tách mỗi loại để có được chi phí tối ưu và vẫn đáp ứng được yêu cầu dinh dưỡng hàng ngày?
Lời giải:
Ta có hệ ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧60x+60y≥30012x+6y≥3610x+30y≥90x≥0y≥0 .
Giá C=5x+6y
Miền nghiệm như hình vẽ. Các đỉnh là:
M(0;6),N(1;4),P(3;2),Q(9;0) .
C nhỏ nhất tại đỉnh P(3;2) .
Vậy nên uống 3 tách loại X , 2 tách loại Y .
Ví dụ 2:
Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị prô-tê-in và 400 đơn vị li-pít trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kí-lô-gam thịt bò chứa 800 đơn vị prô-tê-in và 200 đơn vị li-pít. Mỗi kí-lô-gam thịt lợn chứa 600 đơn vị prô-tê-in và 400 đơn vị li-pít. Biết rằng gia đình này chỉ mua tối đa 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn; giá tiền 1 kg thịt bò là 45 000 đồng, 1 kg thịt lợn là 35 000 đồng. Hỏi gia đình đó phải mua bao nhiêu kí-lô-gam thịt mỗi loại để số tiền bỏ ra là ít nhất?
Lời giải:
Gọi x và y lần lượt là số kí-lô-gam thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó mua mỗi ngày (0 ≤x≤1,6;0≤y≤1,1) .
Khi đó chi phí để mua số thịt trên là: F=45 000x+35 000y đồng.
Trong x kg thịt bò chứa 800x đơn vị prô-tê-in và 200x đơn vị li-pít.
Trong y kg thịt lợn chứa 600x đơn vị prô-tê-in và 400y đơn vị li-pít.
Suy ra, số đơn vị prô-tê-in và số đơn li-pít lần lượt là 800x+600y đơn vị và 200x+400y đơn vị.
Do gia đình này cần ít nhất 900 đơn vị prô-tê-in và 400 đơn vị li-pít trong thức ăn mỗi ngày nên ta có hệ bất phương trình sau:
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧800x+600y≥900 200x+400y≥400 0≤x≤1,60≤y≤1,1⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧8x+6y≥9x+2y≥2 0≤x≤1,60≤y≤1,1
Bài toán trở thành: Tìm GTNN của F=45 000x+35 000y với x,y thỏa hệ trên.
Giải hệ bất phương trình trên, ta có miền nghiệm là tứ giác ABCD (hình bên) với tọa độ các đỉnh là: A(1,6;1,1), B(1,6;0,2), C(0,6;0,7), D(0,3;1,1) .
Khi đó:
Tại A(1,6;1,1): F=110 500
Tại B(1,6;0,2): F=79 000
Tại C(0,6; 0,7): F=51 500
Tại D(0,3; 1,1): F=52 000 .
Suy ra, F nhỏ nhất khi (x;y)=(0,6;0,7) . Do đó gia đình này cần mua 0,6 kg thịt bò, 0,7 kg thịt lợn
3. Luyện tập củng cố: Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và ứng dụng
Học đi đôi với hành, luyện tập hàng ngày để trở nên thông thái
Luyện tập ngay