Khẩu phần dinh dưỡng hàng ngày cho người ăn kiêng cần cung cấp ít nhất 300 calo, 36 đơn vị vitamin A và 90 đơn vị vitamin C . Một tách thức uống X có giá 5 nghìn đồng và cung cấp 60 calo, 12 đơn vị vitamin A và 10 đơn vị vitamin C . Một tách thức uống Y có giá 6 nghìn đồng và cung cấp 60 calo, 6 đơn vị vitamin A và 30 đơn vị vitamin C . Mỗi ngày nên uống bao nhiêu tách mỗi loại để có được chi phí tối ưu và vẫn đáp ứng được yêu cầu dinh dưỡng hàng ngày?

Ta có hệ ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​60x+60y≥30012x+6y≥3610x+30y≥90x≥0y≥0​ .

Giá C=5x+6y 

Miền nghiệm như hình vẽ. Các đỉnh là:

M(0;6),N(1;4),P(3;2),Q(9;0) .

C nhỏ nhất tại đỉnh P(3;2) .

Vậy nên uống 3 tách loại X , 2 tách loại Y .

Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị prô-tê-in và 400 đơn vị li-pít trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kí-lô-gam thịt bò chứa 800 đơn vị prô-tê-in và 200 đơn vị li-pít. Mỗi kí-lô-gam thịt lợn chứa 600 đơn vị prô-tê-in và 400 đơn vị li-pít. Biết rằng gia đình này chỉ mua tối đa 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn; giá tiền 1 kg thịt bò là 45 000 đồng, 1 kg thịt lợn là 35 000 đồng. Hỏi gia đình đó phải mua bao nhiêu kí-lô-gam thịt mỗi loại để số tiền bỏ ra là ít nhất?

Gọi x  và y  lần lượt là số kí-lô-gam thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó mua mỗi ngày (0 ≤x≤1,6;0≤y≤1,1) .

Khi đó chi phí để mua số thịt trên là: F=45 000x+35 000y  đồng.

Trong x  kg thịt bò chứa 800x  đơn vị prô-tê-in và 200x  đơn vị li-pít.

Trong y  kg thịt lợn chứa 600x  đơn vị prô-tê-in và 400y  đơn vị li-pít.

Suy ra, số đơn vị prô-tê-in và số đơn li-pít lần lượt là 800x+600y  đơn vị và 200x+400y  đơn vị.

Do gia đình này cần ít nhất 900  đơn vị prô-tê-in và 400  đơn vị li-pít trong thức ăn mỗi ngày nên ta có hệ bất phương trình sau:

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​800x+600y≥900 200x+400y≥400 0≤x≤1,60≤y≤1,1​⇔⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​8x+6y≥9x+2y≥2 0≤x≤1,60≤y≤1,1​ 

Bài toán trở thành: Tìm GTNN của F=45 000x+35 000y  với x,y  thỏa hệ trên.

Giải hệ bất phương trình trên, ta có miền nghiệm là tứ giác ABCD  (hình bên) với tọa độ các đỉnh là: A(1,6;1,1), B(1,6;0,2), C(0,6;0,7), D(0,3;1,1) .

Khi đó:

Tại A(1,6;1,1): F=110 500 

Tại B(1,6;0,2): F=79 000 

Tại C(0,6; 0,7): F=51 500 

Tại D(0,3; 1,1): F=52 000 .

Suy ra, F  nhỏ nhất khi (x;y)=(0,6;0,7) . Do đó gia đình này cần mua 0,6 kg  thịt bò, 0,7 kg  thịt lợn