1. Bài giảng: Ứng dụng đạo hàm giải quyết một số vấn đề thực tiễn
Ứng dụng đạo hàm giải quyết một số vấn đề thực tiễn
1. Tốc độ thay đổi của một đại lượng
Ta có đạo hàm f′(a) là tốc độ thay đổi tức thời của đại lượng y=f(x) đối với x tại điểm x=a. Dưới đây, chúng ta xem xét một số ứng dụng của ý tưởng này đối với vật lí, hoá học, sinh học và kinh tế:
- Nếu s=s(t) là hàm vị trí của một vật chuyển động trên một đường thẳng thì v=s′(t) biểu thị vận tốc tức thời của vật (tốc độ thay đổi củ̉a độ dịch chuyển theo thời gian). Tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thời của vật:
a(t)=v′(t)=s″(t).
- Nếu C=C(t) là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hoá học tại thời điểm t, thì C′(t) là tốc độ phản ứng tức thời (tức là độ thay đổi nồng độ) của chất đó tại thời điểm t.
- Nếu P=P(t) là số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm t, thì P′(t) biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể tại thời điểm t.
- Nếu C=C(x) là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất x đơn vị hàng hoá, thì tốc độ thay đổi tức thời C′(x) của chi phí đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên.
- Về ý nghĩa kinh tế, chi phí biên C′(x) xấp xỉ với chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hoá tiếp theo, tức là đơn vị hàng hoá thứ x+1 (xem SGK Toán 11 tập hai, trang 87, bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống).
2. Một số bài toán tối ưu hóa đơn giản
Một trong những ứng dụng phổ biến nhất của đạo hàm là cung cấp một phương pháp tổng quát, hiệu quả để giải những bài toán tối ưu hoá. Trong mục này, chúng ta sẽ giải quyết những vấn đề thường gặp như tối đa hoá diện tích, khối lượng, lợi nhuận, cũng như tối thiểu hoá khoảng cách, thời gian, chi phí.
Khi giải những bài toán như vậy, khó khăn lớn nhất thường là việc chuyển đổi bài toán thực tế cho bằng lời thành bài toán tối ưu hoá toán học bằng cách thiết lập một hàm số phù hợp mà ta cần tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của nó, trên miền biến thiên phù hợp của biến số.
Quy trình giải một bài toán tối ưu hoá:
Bước 1: Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán.
Bước 2: Chọn một đại lượng thich hợp nào đó, kí hiệu là x, và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo x. Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến x. Tìm tập xác định của hàm số Q=Q(x)
Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số Q=Q(x) bằng các phương pháp đã biết và kết luận.
2. Ví dụ minh hoạ: Ứng dụng đạo hàm giải quyết một số vấn đề thực tiễn
Ví dụ 1:
Một nhà máy sản xuất đèn bàn bán mỗi chiếc đèn với giá 250 nghìn đồng và trung bình mỗi tháng bán được 600 chiếc. Nhà máy dự định tăng giá mỗi chiếc thêm bội số của 10 nghìn đồng để tối ưu hóa lợi nhuận. Theo khảo sát, mỗi lần tăng giá 10 nghìn đồng thì số lượng đèn bán ra giảm đi 20 chiếc. Biết chi phí sản xuất mỗi chiếc đèn là 150 nghìn đồng. Hỏi nhà máy nên đặt giá bán mới là bao nhiêu để đạt lợi nhuận cao nhất?
Lời giải:
Gọi x là số lần tăng giá thêm 10,000 đồng.
Giá mới: 250,000+10,000x .
Số đèn bán ra: 600−20x .
Lợi nhuận mỗi tháng: L(x)=(250,000+10,000x−150,000)(600−20x)
Mở rộng và rút gọn: L(x)=60,000,000+4,000,000x−200x2
Tính x tối ưu:x=10
Giá bán mới là 250,000+10,000×10=350,000 đồng.
Ví dụ 2:
Tại một xưởng sản xuất sản phẩm từ gỗ, chi phí để sản xuất x(m^3 ) sản phẩm mỗi tháng là C(x)=5 000+50x+0,005x2 (triệu đồng). Chi phí trung bình là C(x)=xC(x) . Mỗi tháng xưởng sản xuất bao nhiêu mét khối sản phẩm thì chi phí trung bình để sản xuất là thấp nhất.
Đáp án:
Lời giải:
Chi phí trung bình (triệu đồng) trên mỗi mét khối sản phẩm là:
Cˉ(x)=xC(x)=x5 000+50x+0,005x2 .
Cˉ ′ (x)=−x25 000+0,005=0 .
Cˉ ′ (x)=0⇔x=1 000 .
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy chi phí trung bình thấp nhất là: Cˉ(1 000)=60 đạt được khi x=1 000 .
3. Luyện tập củng cố: Ứng dụng đạo hàm giải quyết một số vấn đề thực tiễn
Học đi đôi với hành, luyện tập hàng ngày để trở nên thông thái
Luyện tập ngay