ELIP

• Cho hai điểm cố định và phân biệt \({{F}_{1}},\) \({{F}_{2}}.\) Đặt \({{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c>0.\) Cho số thực \(a\)  lớn hơn \(c.\) Tập hợp các điểm \(M\)  sao cho \(M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}=2a\)  được gọi là đường elip. Hai điểm \({{F}_{1}},\,\,{{F}_{2}}\) được gọi là hai tiêu điểm và \({{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c\)  được gọi là tiêu cự của elip đó.
• Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) elip có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho \(O\)  là trung điểm của đọan thẳng nối hai tiêu điểm đó thì có phương trình \(\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1,\) với \(a>b>0.\)  \(\left( 2 \right)\) 
• Ngược lại, mỗi phương trình có dạng \(\left( 2 \right)\)  đều là phương trình của elip có hai tiêu điểm \({{F}_{1}}\left(-\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}};0\right),\) \({{F}_{2}}\left(\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}};0\right),\) tiêu cự \(2c=2\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}\)  và tổng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip đó tới hai tiêu điểm bằng \(2a.\) 
• Phương trình \(\left( 2 \right)\)  được gọi là phương trình chính tắc của elip tương ứng.

Tính chất và hình dạng của Elip: Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\) , với \(a>b>0.\) 

• Trục đối xứng \(Ox,\,\,Oy\) 
• Tâm đối xứng \(O.\) 
• Tiêu điểm \({{F}_{1}}\left( -c;0 \right),~{{F}_{2}}\left( c;0 \right).\) 
• Tọa độ các đỉnh \({{A}_{1}}\left( -a;0 \right),~{{A}_{2}}\left( a;0 \right),~{{B}_{1}}\left( 0;-b \right),~{{B}_{2}}\left( 0;b \right).\) 
• Độ dài trục lớn \(2a.\) Độ dài trục bé \(2b.\) 
• Nội tiếp trong hình chữ nhật cơ sở có kích thước là \(2a\)  và \(2b.\) 
• Tâm sai \(e=\frac{c}{a}<1.\) 
• Hai đường chuẩn \(x=\frac{a}{e}\)  và \(x=-\frac{a}{e}.\) 
• \(M\left( x;y \right)\in \left( E \right)\) . Khi đó \(M{{F}_{1}}=a+ex:\) bán kính qua tiêu điểm trái.
• \(M{{F}_{2}}=a-ex:\) bán kính qua tiêu điểm phải.