Các quy tắc đạo hàm

• Từ định nghĩa đạo hàm ta có:
• (c)′=0(c=const);  
• (x)′=1,∀x∈R 

1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ y=xn(n∈N∗)    

• Hàm số y=xn(n∈N∗) có đạo hàm trên R  và (xn)′=nxn−1. 

2. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ y=√x 

• Hàm số y=√x  có đạo hàm trên (0;+∞) và (√x)′=2√x1​. 

3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Chú ý: Giới hạn của xsinx​:  x→0lim​xsinx​=1. 

• Nếu x→x0​lim​u(x)=0  thì x→x0​lim​u(x)sinu(x)​=1. 

a) Đạo hàm của hàm số y=sinx 

• Hàm số y=sinx  có đạo hàm trên R  và (sinx)′=cosx. 
• Đối với hàm số hợp y=sinu và u=u(x)  ta có (sinu)′=u′.cosu 

b) Đạo hàm của hàm số y=cosx 

• Hàm số y=cosx có đạo hàm trên R  và (cosx)′=−sinx. 
• Đối với hàm số hợp y=cosu  và u=u(x)  ta có (cosu)′=−u′sinu. 

c) Đạo hàm của hàm số y=tanx 

• Hàm số y=tanx có đạo hàm tại mọi x=2π​+kπ  và (tanx)′=cos2x1​ 
• Đối với hàm số hợp y=tanu  và u=u(x)  ta có (tanu)′=cos2uu′​. 

d) Đạo hàm của hàm số y=cotx 

• Hàm số y=cotx  có đạo hàm tại mọi x=kπ  và (cotx)′=−sin2x1​. 
• Đối với hàm số hợp y=cotu  và u=u(x)  ta có (cotu)′=−sin2uu′​. 

4. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

Cho biết:

+) x→0lim​xex−1​=1.                           +)  x→0lim​xln(1+x)​=1 

+) Nếu limx→x0​​u(x)=0  thì limx→x0​​u(x)eu(x)−1​=1;limx→x0​​u(x)ln[1+u(x)]​=1.  

+) x→0lim​xax−1​=x→0lim​(lna⋅xlnaexlna−1​)=lna  

+)   x→0lim​xloga​(1+x)​=x→0lim​xlnaln(1+x)​=lna1​  

+) (ex) ′ =ex                                    +)(lnx) ′ =x1​(x>0) 

+) (a′) ′ =axlna(a>0,a=1)          +) (loga​x) ′ =xlna1​(x>0,a>0,a=1) 

5. ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG CỦA HAI HÀM SỐ

Giả sử các hàm số u=u(x),v=v(x)  có đạo hàm trên khoảng (a;b) . Khi đó

• (u+v)′=u′+v′; (u−v)′=u′−v′; 
• (uv)′=u′v+uv′;  (ku)′=ku′(k=const); 
• (vu​)′=v2u′v−v′u​(v=0);  (v1​)′=−v2v′​.(v=v(x)=0) 

6. ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP

a) Khái niệm hàm số hợp

• Giả sử u=g(x)  là hàm số xác định trên khoảng (a;b) , có tập giá trị chứa khoảng (c;d)  và y=f(u)  là hàm số xác định trên (c;d). 
• Hàm số y=f(g(x)) được gọi là hàm số hợp của hàm số y=f(u)  với u=g(x). 

b) Đạo hàm của hàm số hợp

• Nếu hàm số u=g(x)  có đạo hàm ux​′  tại x  và hàm số y=f(u)  có đạo hàm yu​′  tại u  thì hàm số hợp y=f(g(x))  có đạo hàm yx​′  tại x  là y′x​=y′u​.u′x​. 
• Từ đó ta có các kết quả sau:
• (un)′=n.un−1.u′(n∈N,n>1); 
• (√u)′=2√uu′​(u>0). 

7. ĐẠO HÀM CẤP HAI

• Cho hàm số y=f(x)  có đạo hàm y′=f′(x)  tại mọi điểm x∈(a;b). 
• Nếu hàm số y′=f′(x)  lại có đạo hàm tại x  thì ta gọi đạo hàm của y′=f′(x)  là đạo hàm cấp hai của hàm số y=f(x)  tại x , kí hiệu là y′′  hoặc f′′(x). 
• Khi đó: (f′(x))′=f′′(x). 

8. Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI

• Một chuyển động có phương trình s=f(t)  thì đạo hàm cấp hai (nếu có) của hàm số s=f(t)  là gia tốc tức thời của chuyển động s=s(t)  tại thời điểm t. 
• Ta có a(t)=f′′(t)