1. Bài giảng: Định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm
Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
1. ĐẠO HÀM
- Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0∈(a;b).
- Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn x→x0limx−x0f(x)−f(x0) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của f(x) tại điểm x0, kí hiệu là f′(x0) hay y′(x0), tức là
f′(x0)=x→x0limx−x0f(x)−f(x0)
- Để tính đạo hàm của hàm số y=f(x) tại x0∈(a;b), ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Tính f(x)−f(x0).
Bước 2. Lập và rút gọn tỉ số x−x0f(x)−f(x0) với x∈(a;b),x=x0
Bước 3. Tính giới hạn x→x0limx−x0f(x)−f(x0).
Trong định nghĩa và quy tắc trên đây, thay x0 bởi x ta sẽ có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x∈(a;b).
- Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
- Nếu hàm số s=f(t) biểu thị quã̃ng đường di chuyển của vật theo thời gian t thì f′(t0) biểu thị tốc độ tức thời của chuyển động tại thời điểm t0.
- Nếu hàm số T=f(t) biểu thị nhiệt độ T theo thời gian t thì f′(t0) biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm t0.
2. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM
- Đạo hàm của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của (C) tại điểm M0(x0;f(x0))
- Tiếp tuyến M0T có phương trình là: y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)
3. Số e
- x→+∞lim(1+x1)x=e
- Hơn nữa, người ta còn biết rằng e là số vô tỉ và e=2,718 281 828… (số thập phân vô hạn không tuần hoàn).
2. Ví dụ minh hoạ: Định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm
Ví dụ 1:
Tìm a,b để hàm số f(x)=⎩⎨⎧x−1x2−1khix≥0ax+bkhix<0 có đạo hàm tại điểm x=0 .
Lời giải:
Trước tiên hàm số phải liên tục tại x=0
x→0+limf(x)=1=f(0),x→0−limf(x)=b⇒b=1
Xét x→0+limxf(x)−f(0)=x→0+limx+1x−1=−1
x→0−limxf(x)−f(0)=x→0−lima=a
Hàm số có đạo hàm tại x=0⇔a=−1 .
Ví dụ 2:
Cho hàm số f(x)=⎩⎨⎧2x+3x−1x3+2x2−7x+4 khix≥1khix<1 .Giá trị f′(1) bằng:
Lời giải:
x→1+limf(x)=x→1+lim(2x+3)=5x→1−limf(x)=x→1−limx−1x3+2x2−7x+4=x→1−lim(x2+3x−4)=0
Vậy không tồn tại f′(1) .
3. Luyện tập củng cố: Định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm
Học đi đôi với hành, luyện tập hàng ngày để trở nên thông thái
Luyện tập ngay