Tính chất cơ bản của phân thức đại số

1. Tính chất cơ bản của phân thức

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

BA​=B.MA.M​   (M là một đa thức khác đa thức 0).

- Nếu tử và mẫu của một phân thức có nhân tử chung thì khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó ta được một phân thức bằng phân thức đã cho:

  BA​=B:NA:N​   (N là một nhân tử chung)

- Quy tắc đổi dấu: Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

BA​=−B−A​ 

Ví dụ: Tìm đa thức A trong mỗi trường hợp sau: 2x+yx−1​=−2x−yA​;

Ta có: 2x+yx−1​=−(2x+y)−(x−1)​=−2x−y−x+1​ (đổi dấu tử và mẫu).

Vậy cần tìm A sao cho −2x−y−x+1​=−2x−yA​, suy ra A=−x+1. 

2. Rút gọn phân thức:

Rút gọn phân thức: là biến đổi phân thức đó thành một phân thức mới bằng nó nhưng đơn giản hơn.

* Cách rút gọn một phân thức: Muốn rút gọn một phân thức, ta làm như sau:

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung;

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

Ví dụ: Cho phân thức M=x2−16x+4​. 

a) Rút gọn phân thức đã cho, kí hiệu N là phân thức nhận được.

b) Tính giá trị của M và N tại x=1. So sánh hai kết quả đó.

Giải

a) x2−16x+4​=(x−4)(x+4)x+4​=x−41​⇒N=x−41​.  

b) Tại x=1 , ta có: M=12−161+4​=−155​=3−1​;N=1−41​=3−1​.  

Vậy M=N.

3. Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức: 

Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức: là biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức mới có cùng mẫu thức và lần lượt bằng các phân thức đã cho.

Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta làm như sau:

- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung (MTC);

- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách chia MTC cho mẫu thức đó;

- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Ví dụ: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau: x+310​;2x−65​  và x2−9−1​;

Mẫu thức chung: 2(x−3)(x+3) 

Ta có:

x+310​=2(x−3)(x+3)20x−60​; 

2x−65​=2(x−3)(x+3)5x+15​ 

và x2−9−1​=2(x−3)(x+3)−2​.  ;