PHÉP CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN

Phép chia đa thức một biến

a) Phép chia hết

- Cho hai đa thức \(A\) và \(B\) với \(B\ne 0.\) Nếu có một đa thức \(Q\) sao cho \(A=B.Q\) thì ta có phép chia hết: \(A:B=Q\) hay \(\frac{A}{B}=Q.\) 

Trong đó: \(A\) là đa thức bị chia; \(B\) là đa thức chia; \(Q\) là đa thức thương (gọi tắt là thương).

Khi đó ta còn nói đa thức \(A\) chia hết cho đa thức \(B.\) 

Ví dụ: Xét hai đơn thức \(10{{x}^{4}}\) và \(-5{{x}^{2}},\) do \(10{{x}^{4}}=\left( -5{{x}^{2}} \right).\left( 2{{x}^{2}} \right).\) 

Ta có thể viết \(10{{x}^{4}}:\left( -5{{x}^{2}} \right)=2{{x}^{2}}\) hay \(\frac{10{{x}^{4}}}{-5{{x}^{2}}}=2{{x}^{2}}\) và nói rằng đó là phép chia hết.

- Cho hai đơn thức \(a{{x}^{m}}\) và \(b{{x}^{n}}\)  (\(m,n\in \mathbb{N};\,a,b\in \mathbb{R}\)  và \(b\ne 0\)). Khi đó nếu \(m\ge n\) thì phép chia \(a{{x}^{m}}\) cho \(b{{x}^{n}}\) là phép chia hết và ta có: \(a{{x}^{m}}:b{{x}^{n}}=\frac{a}{b}{{x}^{m-n}}\) (quy ước \({{x}^{0}}=1\) ).

Ví dụ: \(4{{x}^{8}}:6{{x}^{2}}=\frac{4}{6}{{x}^{8-2}}=\frac{2}{3}{{x}^{6}}.\) 

b) Chia đa thức cho đa thức, trường hợp chia hết

Để chia đa thức \(A=3{{x}^{4}}-8{{x}^{3}}-11{{x}^{2}}+6x-18\) cho đa thức \(B=3{{x}^{2}}-2x+3\) ta làm như sau:

Bước 1: Đặt tính tương tự chia hai số tự nhiên. Lấy hạng tử bậc cao nhất của \(A\)  chia cho hạng tử bậc cao nhất của \(B:\) 

\(3{{x}^{4}}:3{{x}^{2}}={{x}^{2}}\) 

Bước 2: Lấy \(A\) trừ đi tích \(B.{{x}^{2}},\) ta được dư thứ nhất là: \(-6{{x}^{3}}-14{{x}^{2}}+6x-18:\)

Bước 3: Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của \(B:\) 

\(-6{{x}^{3}}:3{{x}^{2}}=-2x\) 

Bước 4: Lấy dư thứ nhất trừ đi tích \(B.\left( -2x \right),\) ta được dư thứ hai là: \(-18{{x}^{2}}+12x-18\) 

Bước 5: Làm tương tự như trên ta được:

Dư cuối cùng bằng \(0\) nên quá trình chia kết thúc.

Ta được thương là đa thức

Chú ý: Nếu đa thức ở một dòng khuyết hạng tử bậc nào đó thì ta để một khoảng trống ứng với hạng tử đó.

c) Chia đa thức cho đa thức, trường hợp chia có dư

Khi chia đa thức \(A\) cho đa thức \(B:\) 

- Đa thức dư \(R\) phải bằng \(0\) hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của \(B.\) 

- Nếu thương là đa thức \(P,\) dư là \(R\) thì ta có đẳng thức \(A=BQ+R.\)

Ví dụ:

Phép chia có dư là \(2x+17.\)