Hộp thứ nhất có 3 viên bi xanh và 6 viên vi đỏ. Hộp thứ hai có 3 viên vi xanh và 7 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kịch thức và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ngẫu nhiên đồng thời hai viên từ hộp thứ hai, biết rằng hai bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi màu đỏ, tính xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất cũng là bi màu đỏ.

Gọi A1​ : “Lấy ra một bi một màu xanh ở hộp thứ nhất”

Và A2​ : “Lấy ra một bi một màu đỏ ở hộp thứ nhất”

Nên A1​, A2​ là hệ biến cố đầy đủ

Gọi B : “Hai bi lấy ra từ hộp thứ hai là màu đỏ”

Ta có: P(A1​)=C91​C31​​=31​ ; P(A2​)=C91​C61​​=32​ 

P(B∣A1​)=C112​C72​​=5521​ ; P(B∣A2​)=C112​C82​​=5528​ 

Áp dụng công thức xác suất toàn phần

P(B)=P(B∣A1​).P(A1​)+P(B∣A2​).P(A2​) =31​.5521​+32​.5528​=157​ 

Xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ n\

\\ơơhất màu đỏ, biết rằng hai bi lấy ra từ hộp thứ hai màu đỏ, ta áp dụng công thức Bayes

P(A2​∣B)=P(B)P(B∣A2​).P(A2​)​ =157​5528​.32​​=118​ 

Một căn bệnh có 1% dân số mắc phải. Một phương pháp chuẩn đoán được phát triển có tỷ lệ chính xác là 99%. Với những người bị bệnh, phương pháp này sẽ đưa ra kết quả dương tính 99% số trường hợp. Với người không mắc bệnh, phương pháp này cũng chuẩn đoán đúng 99 trong 100 trường hợp. Nếu một người kiểm tra và kết quả là dương tính (bị bệnh), xác suất để người đó thực sự bị bệnh là bao nhiêu?

Gọi A là biến cố “người đó mắc bệnh”

Gọi B là biến cố “kết quả kiểm tra người đó là dương tính (bị bệnh)”

Ta cần tính P(A∣B) 

Với P(A∣B)=P(A).P(B∣A)+P(Aˉ).P(B∣Aˉ)P(A).P(B∣A)​ 

Ta có:

Xác suất để người đó mắc bệnh khi chưa kiểm tra:P(A)=1 

Do đó xác suất để người đó không mắc bệnh khi chưa kiểm tra: P(Aˉ)=1−0,01=0,99 

Xác suất kết quả dương tính nếu người đó mắc bệnh là: P(B∣A)=99 

Xác suất kết quả dương tính nếu người đó không mắc bệnh là: P(B∣Aˉ)=1−0,99=0,01 

P(A∣B)=P(A).P(B∣A)+P(Aˉ).P(B∣Aˉ)P(A).P(B∣A)​=0,01.0,99+0,99.0,010,01.0,99​=0,5 

Xác suất kết để người đó mắc bệnh nếu kết quả kiểm tra người đó là dương tính là 0,5