Tổ hợp - Chỉnh hợp - Hoán vị

1. HOÁN VỊ

a. Định nghĩa: Một hoán vị của một tập hợp có \(n\) phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự \(n\) phần tử đó (với \(n\) là số tự nhiên, \(n\ge 1\) ).

b. Số các hoán vị của một tập hợp có \(n\)  phần tử là \({{P}_{n}}=n!=n(n-1)(n-2)...1.\) 

Chú ý:

+ Có \(n!\) cách xếp n người vào n ghế xếp thành một dãy.

+ Có \(\left( n-1 \right)!\) cách xếp n người vào n ghế xếp quanh một bàn tròn nếu không có sự phân biệt giữa các ghế.

2. CHỈNH HỢP

a. Định nghĩa: Một chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) là một cách sắp xếp có thứ tự \(k\)  phần tử từ một tập hợp \(n\) phần tử (với \(k,~n\) là các số tự nhiên, \(1\le k\le n\) ).

b. Số các chỉnh hợp chập \(k\) của một tập hợp có \(n\) phần tử\(1\le k\le n\) là \(A_{n}^{k}=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)=\frac{n!}{\left( n-k \right)!}.\) 

3. TỔ HỢP

a. Định nghĩa: Một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) là một cách chọn \(k\) phần tử từ một tập hợp \(n\) phần tử (với \(k,~n\) là các số tự nhiên, \(0\le k\le n\) ).

b. Số các tổ hợp chập \(k\) của một tập hợp có \(n\) phần tử \((1\le k\le n)\) là \(C_{n}^{k}=\frac{A_{n}^{k}}{k!}=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}\) 

4. HAI TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA SỐ \(C_{n}^{k}\) 

a. Tính chất 1:

Cho số nguyên dương \(n\) và số nguyên \(k\) với \(0\le k\le n\text{.}\) Khi đó \(C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}.\) 

b. Tính chất 2:

Cho các số nguyên \(n\) và \(k\)  với \(1\le k\le n\text{.}\)  Khi đó \(C_{n+1}^{k}=C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}.\)