Giới hạn của hàm số

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

• Cho điểm x0​ thuộc khoảng K và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc K\{xo​}. 
• Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn hữu hạn là số L khi x dần tới x0​  nếu dãy số (xn​) bất kì, xn​∈K\{xo​} v aˋ xn​→x0​ thì f(xn​)→L , kí hiệu x→x0​lim​f(x)=L hay f(x)→L khi x→x0​. 

Nhận xét: x→x0​lim​x=x0​ ; x→x0​lim​c = c  (c là hằng số).

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số

• Cho x→x0​lim​f(x)=L và x→x0​lim​g(x)=M. Khi đó:
• x→x0​​lim​ [f(x)+g(x)]=L+M                      x→x0​​lim​ [f(x)−g(x)]=L−M 
• x→x0​​lim​ [f(x).g(x)]=L.M                            x→x0​​lim​g(x)f(x)​=ML​ ( với M=0 ).
• Nếu f(x)≥0 và  x→x0​lim​f(x)=L thì  L≥0 và x→x0​lim​√f(x)​=√L. 
• ( Dấu của f(x) được xét trên khoảng tìm giới hạn, x=x0​ ).

Nhận xét:

a) x→x0​lim​xk=xo​k , k là số nguyên dương;

b) x→x0​​lim​ [cf(x)]=cx→x0​​lim​f(x)(c∈R, nếu tồn tại x→x0​lim​f(x)∈R ).

3. Giới hạn một phía

• Cho hàm số y=f(x)  xác định trên khoảng (x0​;b) .
• Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn bên phải là số L khi x dần tới x0​  nếu dãy số (xn​) bất kì, x0​<xn​<b  x0​<xn​<b v aˋ xn​→x0​ th iˋ f(xn​)→L,  kí hiệu x→x0​+lim​f(x)=L 
• Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a,xo​) .
• Ta nói hàm số y=f(x)  có giới hạn bên trái là số L khi x  dần tới x0​ nếu dãy số (xn​) bất kì, a<xn​<x0​ và xn​→x0​ thì  f(xn​)→L kí hiệu x→x0​−lim​f(x)=L .

Chú ý: Ta thừa nhận các kết quả sau:

x→x0​+lim​f(x)=L v aˋ x→x0​−lim​f(x)=L khi và chỉ khi x→x0​lim​f(x)=L; 

Nếu x→x0​+lim​f(x)=x→x0​−lim​f(x) thì không tồn tại x→x0​lim​f(x) .

Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số ở Mục 2 vẫn đúng khi ta thay x→x0​  bằng x→x0​+ hoặc x→x0​− .

4.Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

• Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;+∞) .
• Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn hữu hạn là số L khi x→+∞ nếu dãy số (xn​) bất kì, xn​>a và  xn​→+∞ thì f(xn​)→L, kí hiệu x→+∞lim​f(x)=L hay f(x)→L  khi x→+∞. 
• Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (−∞;a) .
• Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn hữu hạn là số L khi x→−∞ nếu dãy số (xn​) bất kì, xn​a và xn​→−∞  thì  f(xn​)→L,  kí hiệu x→−∞lim​f(x)=L hay f(x)→L khi x→−∞. 

Chú ý:

a) Với c là hằng số và k là số nguyên dương, ta luôn có: x→±∞lim​c=c và x→±∞lim​xkc​=0  

b) Các phép toán trên giới hạn hàm số ở Mục 2 vẫn đúng khi thay x→x0​ bằng x→+∞ hoặc x→−∞ .

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (−∞;a) .

Ta nói hàm số y=f(x)  có giới hạn hữu hạn là số L khi x→−∞  nếu dãy số (xn​) bất kì, xn​a v aˋ xn​→−∞ th iˋ f(xn​)→L,  kí hiệu x→−∞lim​f(x)=L hay f(x)→L khi x→−∞. 

5. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (x0​;b) .

Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn bên phải là +∞ khi x→x0​ về bên phải nếu với dãy số (xn​) bất kì, xo​ xn​ b v aˋ xn​→x0​ th iˋ f(xn​)→+∞, kí hiệu

x→x0​+lim​f(x)=+∞ hay f(x)→+∞ khi x→x0​+. 

Ta nới hàm số y=f(x) có giới hạn bên phải là −∞ khi x→x0​ về bên phải nếu với dãy số (xn​) bất kì, xo​ xn​ b v aˋ xn​→x0​ th iˋ f(xn​)→−∞, kí hiệu x→x0​−lim​f(x)=−∞ hay f(x)→−∞ khi x→x0​−. 

Chú ý:

a) Các giới hạn x→x0​+lim​f(x)=+∞,x→x0​−lim​f(x)=−∞,x→+∞lim​f(x)=+∞,x→+∞lim​f(x)=−∞, x→−∞lim​f(x)=+∞,  x→−∞lim​f(x)=−∞  được định nghĩa tương tự như trên.

b) Ta thường có các giới hạn thường dùng sau:

x→a+lim​x−a1​=+∞ v aˋ x→a−lim​x−a1​=−∞ (a∈R);  x→+∞lim​xk=+∞ với k nguyên dương;

x→−∞lim​xk=+∞ với k là số chẵn; x→−∞lim​xk=−∞ với k là số lẻ.

c) Các phép toán trên giới hạn hàm số ở Mục 2 chỉ áp dụng được khi tất cả các hàm số được xét có giới hạn hữu hạn. Với giới hạn vô cực, ta có một số quy tắc sau đây.

Nếu x→x0​+lim​f(x)=+∞, x→x0​+lim​f(x)=L=0 vaˋ x→x0​+lim​g(x)=−∞ th iˋ x→x0​+lim​[f(x).g(x)] được tính theo quy tắc cho bởi sau:

Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay x0​+ thành x0​− ( hoặc +∞,−∞).