Giới hạn dãy số

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

Giới hạn 0 của dãy số

• Dãy số (un​) có giới hạn 0 khi n  dần tới dương vô cực, nếu ∣un​∣ nhỏ hơn một số dương bất kì cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu n→∞lim​un​​=0 hay un​→0 khi  n→+∞. Ta còn viết là limun​​=0. 
• Ta thừa nhận một số giới hạn cơ bản sau đây:
• limnk1​=0, với k nguyên dương bất kì.
• limqn=0, với q là số thực thỏa mãn ∣q∣<1. 

Giới hạn hữu hạn của dãy số

• Dãy số (un​) có giới hạn hữu hạn là số a (hay un​ dần tới a) khi n dần tiến tới dương vô cực, nếu lim(un​−a)=0. 

Khi đó, ta viết n→+∞lim​un​=a hay lim un​=a hay un​→a khi n→+∞.  

Chú ý: Nếu un​=c (c là hằng số) thì lim un​=limc=c. 

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số

• Cho lim un​=a,lim vn​= b và c là hằng số. Khi đó:

            lim(un​+vn​)=a+b                         lim(un​−vn​)=a−b 

            lim(c.un​)=c.a                                  lim(un​.vn​)=a.b 

            limvn​un​​=ba​(b=0) 

• Nếu un​≥0,∀n∈N∗ thì  a≥0 và lim√un​​=√a 

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

• Cấp số nhân vô hạn (un​) có công bội q thỏa mãn ∣q∣<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
• Cấp số nhân lùi vô hạn này có tổng là:
• S=u1​+u2​+...+un​+...=1−qu1​​ 

4. Giới hạn vô cực

• Ta nói dãy số (un​) có giới hạn là nếu un​ lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu limun​=+∞ hay un​→+∞ khi n→+∞. 
• Ta nói dãy số (un​) có giới hạn là −∞ khi n→+∞ nếu lim(−un​)=+∞ , kí hiệu limun​=−∞ hay un​→−∞  khi n→+∞ .

Chú ý: Ta có các kết quả sau:

a) limun​=+∞ khi và chỉ khi lim(−un​)=−∞; 

b) Nếu limun​=+∞ hoặc limun​=−∞ thì limun​1​=0; 

c) Nếu limun​=0 v aˋ un​>0 với mọi n thì limun​1​=+∞. 

Nhận xét:

a)limnk=+∞(k∈N,k≥1);                          b)limqn=+∞(q>1).