Định lí Pythagore và ứng dụng

1. Định lý Pythagore Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông. Tam giác ABC vuông tại A  Suy ra BC2=AB2+AC2

Ví dụ: Tính độ dài x,y trong hình vẽ sau:

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác AHB vuông tại H ta có:

AB2=AH2+BH2  ​  

 AB=√AH2+BH2​   

x=√122+92​=15. 

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác AHC vuông tại H ta có:

AC2=AH2+CH2 

AC=√AH2+CH2​   

y=√122+162​=20 

Vậy x=15;y=20. 

2. Định lý Pythagore đảo

Nếu tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

Tam giác ABC có :

BC2=AB2+AC2 

Suy ra △ABC vuông tại A.  

Ví dụ: Tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài ba cạnh như sau:

a) 9   cm,15   cm,12   cm. 

b) 5dm,13dm,12dm.  

c) 8   m,8   m,12   m.

Giải

a) Ta có 152=225;92+122=81+144=225, suy ra 152=92+122.

Do đó 9cm,5cm,12cm là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông.

b) Tương tự câu a, ta có 132=52+122(=169) nên 5dm,13dm,12dm là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông.

c) Ta có 122=144=82+82=128 nên 8m,8m,12m không phải là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông

3. Ứng dụng của định lý Python

3.1. Tính độ dài đoạn thẳng. Nếu tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH=h, các cạnh BC=a,AC=b,AB=c thì h.a=b.c 

3.2. Chứng minh tính chất hình học.

Cho hình vẽ, ta có: AM là đường cao, các đoạn AC,AD là đường xiên, MC  là hình chiếu của đường xiên AC,MD là hình chiếu của đường xiên AD. Nếu hình chiếu càng lớn thì đường xiên càng lớn và ngược lại.

Ví dụ: Một bạn học sinh thả diều ngoài công viên, biết đoạn dây từ tay bạn đến con diều dài 150   m và bạn đứng cách nơi diều được thả lên theo phương thẳng đứng là 90m. Tính độ cao của con diều so với mặt đất, biết tay bạn học sinh cách mặt đất là 1,5m.  

Giải

Ta có AB=DE=90   m 

Dễ dàng tính được:

AC=√1502−902​=120(m) 

Lại có AD=BE=1,5m  

Vậy độ cao của con diều so với mặt đất là

CD=CA+AD=121,5m.