Phép cộng, phép trừ phân thức đại số

1. Cộng hai phân thức cùng mẫu

- Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức:

MA​+MB​=MA+B​ 

- Kết quả phép cộng hai phân thức được gọi là tổng của hai phân thức đó. Ta thường viết tổng dưới dạng rút gọn.

Ví dụ: Thực hiện phép tính:

a) 7x2y3x+1​+7x2y2x+2​ 

b) 2x−yxy​+y−2x1−x2​   

Giải

a) 7x2y3x+1​+7x2y2x+2​=7x2y5x+3​. 

b) 2x−yxy​+y−2x1−x2​=2x−yxy​+2x−yx2−1​=2x−yxy+x2−1​.  

2. Cộng hai phân thức không cùng mẫu:

- Muốn cộng hai phân thức không cùng mẫu, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức cùng mẫu tìm được.

Ví dụ: Thực hiện phép tính:5x+5y3x​+10x−10y−x​;  

Giải

5x+5y3x​+10x−10y−x​ 

=5(x+y)3x​+10(x−y)−x​ 

=10(x+y)6x(x−y)​+10(x−y)−x(x+y)​ 

=10(x−y)(x+y)5x2−7xy​ 

3. Trừ hai phân thức

- Muốn trừ hai phân thức cùng mẫu ta trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức.

- Muốn trừ hai phân thức không cùng mẫu, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ hai phân thức cùng mẫu nhận được.

Ví dụ: Thực hiện phép tính:

a) x−24+x2​−x−24x​; 

b) y(x−y)1​−x(x−y)1​;  

Giải

a) x−24+x2​−x−24x​=x−2x2−4x+4​=x−2(x−2)2​=x−2.   

b) y(x−y)1​−x(x−y)1​=xy(x−y)x​−xy(x−y)y​=xy(x−y)x−y​=xy1​.  

4. Cộng, trừ nhiều phân thức

- Ta có thể đổi chỗ các số hạng (kèm theo dấu); nhóm (kết hợp) các số hạng một cách tùy ý.

Ví dụ: Thực hiện phép tính:

x2​+x−25​−2x+13​−x2​+2x+13​−x+25​; 

Giải

x2​+x−25​−2x+13​−x2​+2x+13​−x+25​ 

=(x2​−x2​)+(x−25​−x+25​)+(−2x+13​+2x+13​) 

=x−25​−x+25​=(x−2)(x+2)5(x+2)​−(x−2)(x+2)5(x−2)​=(x−2)(x+2)20​ 

5. Quy tắc dấu ngoặc

- Nếu trước dấu ngoặc có dấu "+ " thì khi bỏ dấu ngoặc ta giữ nguyên các số hạng.

- Nếu trước dấu ngoặc có dấu "− " thì khi bỏ dấu ngoặc ta đổi dấu các số hạng.

Ví dụ: Thực hiện phép tính: x2−42x​−(x+52​+x+13−x​)+[x+52​−(x2−44​+x+1x−3​)] 

Giải

x2−42x​−(x+52​+x+13−x​)+[x+52​−(x2−44​+x+1x−3​)] 

=x2−42x​−x+52​−x+13−x​+x+52​−x2−44​−x+1x−3​ 

=(x2−42x​−x2−44​)+(−x+52​+x+52​)+(−x+13−x​−x+1x−3​) 

=x2−42x​−x2−44​=(x−2)(x+2)2(x−2)​=x+22​.