Đa thức

1. Đa thức

+ Đa thức là tổng của những đơn thức; mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

+ Mỗi đơn thức cũng được coi là một đa thức.

Ví dụ: Biểu thức x4+2x3+x2y−6xy−7 là một đa thức. Các hạng tử của đa thức này là x4;2x3;x2y;−6xy;−7. 

2. Đa thức thu gọn

+ Đa thức thu gọn là đa thức không có hai hạng tử nào đồng dạng.

+ Với các đa thức có những hạng tử đồng dạng ta đều có thể thu gọn chúng (thu gọn một đa thức là tìm đa thức thu gọn bằng đa thức đã cho - Xem Dạng 2).

3. Bậc của đa thức

+ Bậc của một đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.

+ Khi tìm bậc của một đa thức, trước hết ta phải rút gọn đa thức đó.

Chú ý: Mỗi số khác 0 là một đa thức bậc 0. Số 0 cũng được coi là một đa thức và là đa thức không có bậc xác định.

4. Phép cộng và phép trừ đa thức

- Cộng (hay trừ) hai đa thức tức là thu gọn đa thức nhận được sau khi nối hai đa thức đã cho bởi dấu "+" (hay dấu "−").

- Phép cộng đa thức có các tính chất tương tự phép cộng các số:

+ Tính chất giao hoán: A+B=B+A; 

+ Tính chất kết hợp: (A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C; 

* Các bước thực hiện phép cộng và phép trừ đa thức

Để cộng (hay trừ) hai đa thức, ta thực hiện các bước sau:

+ Bước 1. Viết hai đa thức trong dấu ngoặc và nối chúng với nhau bởi phép "+ " (hoặc phép “−”).

+ Bước 2. Thực hiện bỏ dấu ngoặc theo quy tắc: Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "− " đứng trước, ta phải đổi dấu tất cả các hạng tử trong dấu ngoặc: dấu "-" thành dấu "+" và dấu " + " thành dấu " − ". Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "+ " đứng trước thì dấu các hạng tử trong ngoặc vẫn giữ nguyên.

- Bước 3. Nhóm các hạng tử đồng dạng và thu gọn đa thức.

5. Nhân đơn thức với đa thức

- Muốn nhân hai đơn thức, ta nhân hai hệ số với nhau và nhân phần biến với nhau.

- Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích lại với nhau.

A.(B+C)=A.B+A.C 

6. Nhân đa thức với đa thức

- Để nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích lại với nhau.

(A+B).(C+D)=A.C+A.D+B.C+B.D 

- Phép nhân đa thức có các tính chất tương tự phép nhân các số:

+ Tính chất giao hoán: A.B=B.A; 

+ Tính chất kết hợp: (A.B).C=A.(B.C)=A.B.C; 

+ Tính chất phân phối đối với phép cộng: A.(B+C)=A.B+A.C. 

7. Chia đơn thức cho đơn thức

- Đơn thức A chia hết cho đơn thức B(B=0) khi mỗi biến của B đều là biến của A  với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A. 

Ví dụ:

Đơn thức A=7x3y2z chia hết cho đơn thức B=−3xy2 vì mỗi biến của B  (biến x và y) đều là biến của A, và số mũ của biến x,y trong B không lớn hơn số mũ của cùng biến đó trong A. 

Đơn thức A=7x3y2z không chia hết cho đơn thức C=xy3 vì số mũ của biến y trong C lớn hơn số mũ của biến y trong A. 

- Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp chia hết), ta làm như sau: 

+ Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B; 

+ Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B;

+ Nhân các kết quả tìm được với nhau.

8. Chia đa thức cho đơn thức

- Đa thức A chia hết cho đơn thức B nếu mọi hạng tử của A đều chia hết cho B. 

- Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp chia hết), ta chia từng hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau. .