1. Bài giảng: HYPECBOL
HYPEBOL
- Trên mặt phẳng, nếu hai thiết bị đặt tại các vị trí F1, F2 nhận được một tín hiệu âm thanh cùng lúc thì vị trí phát ra tín hiệu cách đều hai điểm F1,F2, và do đó, nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng F1F2.
- Cho hai điểm phân biệt cố định F1, F2. Đặt F1F2=2c. Cho số thực dương a nhỏ hơn c. Tập hợp các điểm M sao cho ∣MF1−MF2∣=2a được gọi là đường hypebol. Hai điểm F1, F2 được gọi là hai tiêu điểm và F1F2=2c được gọi là tiêu cự của hypebol đó.
- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hypebol có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm đó thì có phương trình a2x2−b2y2=1, với a,b>0.
- Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (4) đều là phương trình của hypebol có hai tiêu điểm F1(−√a2+b2;0), F2(√a2+b2;0), tiêu cự 2x=2√a2+b2 và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 2a.
- Phương trình được gọi là phương trình chính tắc của hypebol tương ứng.
2. Ví dụ minh hoạ: HYPECBOL
Ví dụ 1:
Để chụp toàn cảnh, ta có thể sử dụng một gương hypebol. Máy ảnh được hướng về phía đỉnh của gương và tâm quang học của máy ảnh được đặt tại một tiêu điểm của gương (xem hình). Tìm khoảng cách từ quang tâm của máy ảnh đến đỉnh của gương, biết rằng phương trình cho mặt cắt của gương là 25x2−16y2=1 .
Lời giải:
Gọi (H):25x2−16y2=1
⇒{a2=25 b2=16⇒{a=5 b=4⇒c=√a2+b2=√39.
Tiêu điểm của gương là F1(−√39;0) và F2(√39;0) .
Đỉnh của gương là A1(−5;0) .
Vậy khoảng cách từ tâm của máy ảnh tới đỉnh của gương là F2A1=√(−5−√39)2=5+√39 .
Ví dụ 2:
Cho hai đường thẳng Δ1 và Δ2 vuông góc với nhau.
Một chất điểm chuyển động trong một góc vuông tạo bởi Δ1 và Δ2 (Hình) có tính chất: ở mọi thời điểm, tích khoảng cách từ mỗi vị trí của chất điểm đến hai đường thẳng Δ1 và Δ2 luôn bằng 4. Biết rằng chất điểm chuyển động trên một phần của đường hypebol. Tìm đường hypebol đó.
Lời giải:
Xét hệ trục toạ độ Oxy như Hình, trong đó các trục Ox,Oy lần lượt là các đường phân giác của các góc tạo bởi Δ1 và Δ2 .
Phương trình hai đường thẳng Δ1 và Δ2 lần lượt là Δ1:x+y=0 và Δ2:x−y=0 .
Giả sử chất điểm ở vị trí M(x0;y0) và chỉ chuyển động trong một góc vuông tương ứng với miền nghiệm của hệ bất phương trình {x+y>0x−y>0 (điểm có toạ độ (1;0) thuộc miền nghiệm của cả hai bất phương trình x+y>0 và x−y>0
Khoảng cách từ M đến hai đường thẳng Δ1:x+y=0 và Δ2:x−y=0 lần lượt là:
d(M,Δ1)=√12+12∣x0+y0∣=√2∣x0+y0∣=√2x0+y0 ;
d(M,Δ2)=√12+12∣x0−y0∣=√2∣x0−y0∣=√2x0−y0.
Suy ra d(M,Δ1)⋅d(M,Δ2)=√2x0+y0⋅√2x0−y0=2x02−y02 .
Do đó d(M,Δ1)⋅d(M,Δ2)=4⇔2x02−y02=4⇔8x02−8y02=1 .
Vậy chất điểm M chuyển động trên một phần của đường hypebol 8x2−8y2=1 .
3. Luyện tập củng cố: HYPECBOL
Học đi đôi với hành, luyện tập hàng ngày để trở nên thông thái
Luyện tập ngay