1. Bài giảng: HYPECBOL
HYPEBOL
- Trên mặt phẳng, nếu hai thiết bị đặt tại các vị trí F1, F2 nhận được một tín hiệu âm thanh cùng lúc thì vị trí phát ra tín hiệu cách đều hai điểm F1,F2, và do đó, nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng F1F2.
- Cho hai điểm phân biệt cố định F1, F2. Đặt F1F2=2c. Cho số thực dương a nhỏ hơn c. Tập hợp các điểm M sao cho ∣MF1−MF2∣=2a được gọi là đường hypebol. Hai điểm F1, F2 được gọi là hai tiêu điểm và F1F2=2c được gọi là tiêu cự của hypebol đó.
- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hypebol có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm đó thì có phương trình a2x2−b2y2=1, với a,b>0.
- Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (4) đều là phương trình của hypebol có hai tiêu điểm F1(−√a2+b2;0), F2(√a2+b2;0), tiêu cự 2x=2√a2+b2 và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 2a.
- Phương trình được gọi là phương trình chính tắc của hypebol tương ứng.
2. Ví dụ minh hoạ: HYPECBOL
Ví dụ 1:
Cho hai đường thẳng Δ1 và Δ2 vuông góc với nhau.
Một chất điểm chuyển động trong một góc vuông tạo bởi Δ1 và Δ2 (Hình) có tính chất: ở mọi thời điểm, tích khoảng cách từ mỗi vị trí của chất điểm đến hai đường thẳng Δ1 và Δ2 luôn bằng 4. Biết rằng chất điểm chuyển động trên một phần của đường hypebol. Tìm đường hypebol đó.
Lời giải:
Xét hệ trục toạ độ Oxy như Hình, trong đó các trục Ox,Oy lần lượt là các đường phân giác của các góc tạo bởi Δ1 và Δ2 .
Phương trình hai đường thẳng Δ1 và Δ2 lần lượt là Δ1:x+y=0 và Δ2:x−y=0 .
Giả sử chất điểm ở vị trí M(x0;y0) và chỉ chuyển động trong một góc vuông tương ứng với miền nghiệm của hệ bất phương trình {x+y>0x−y>0 (điểm có toạ độ (1;0) thuộc miền nghiệm của cả hai bất phương trình x+y>0 và x−y>0
Khoảng cách từ M đến hai đường thẳng Δ1:x+y=0 và Δ2:x−y=0 lần lượt là:
d(M,Δ1)=√12+12∣x0+y0∣=√2∣x0+y0∣=√2x0+y0 ;
d(M,Δ2)=√12+12∣x0−y0∣=√2∣x0−y0∣=√2x0−y0.
Suy ra d(M,Δ1)⋅d(M,Δ2)=√2x0+y0⋅√2x0−y0=2x02−y02 .
Do đó d(M,Δ1)⋅d(M,Δ2)=4⇔2x02−y02=4⇔8x02−8y02=1 .
Vậy chất điểm M chuyển động trên một phần của đường hypebol 8x2−8y2=1 .
Ví dụ 2:
Bạn An cùng một lúc bắn hai phát súng về đích A và đích B cách nhau 400 m . Biết vận tốc trung bình của viên đạn là 760 m/s . Viên đạn bắn về đích A nhanh hơn viên đạn bắn về đích B là 0,5 giây. Hỏi những vị trí mà bạn An đứng để có thể đạt được kết quả bắn tương tự như trên thuộc đường conic nào? Viết phương trình chính tắc của đường conic đó.
Lời giải:
Gọi sA,sB( m) lần lượt là quãng đường cần để viên đạn bắn về đích A , đích B .
Theo để bài, ta có sA−sB=760⋅0,5=380( m) . Lại có, khoảng cách giữa đích A và đích B là 400 m , do đó những vị trí mà bạn An đúng thuộc hypebol với hai tiêu điểm là A và B .
Đặt hệ trục toạ độ Oxy với O là trung điểm của AB,Ox trùng với AB và mỗi đơn vị trên hệ trục toạ độ ứng với 1 m trên thực tế. Khi đó, ta có A(−200;0) và B(200;0) , tiêu cự của hypebol là 2c=AB=400 (hay c=200) .
Gọi M là vị trí mà bạn An đứng để có thể đạt được kết quả bắn theo đề bài.
Tập hợp các điểm M thoả mãn ∣MA−MB∣=2a=380 (hay a=190 ) là hypebol có phương trình: 1902x2−2002−1902y2=1⇔36 100x2−3 900y2=1 .
3. Luyện tập củng cố: HYPECBOL
Học đi đôi với hành, luyện tập hàng ngày để trở nên thông thái
Luyện tập ngay