Dãy phân số có quy luật

1. Các quy luật dãy phân số thường gặp:

+ Mẫu số của phân số liền sau gấp mẫu số phân số liền trước cùng một số lần:

\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{1 024}+\frac{1}{2 048}+\frac{1}{4 096}\) 

+ Mẫu số là tích của hai số liên tiếp:

\(\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{4\times 5}+...+\frac{1}{99\times 100}\) 

+ Mẫu số là tích của hai số cách nhau a đơn vị:

 \(\frac{1}{6\times 10}+\frac{1}{10\times 14}+\frac{1}{14\times 18}+...+\frac{1}{402\times 406}\) 

+ Dãy phân số mà mỗi phân số có tử số hơn mẫu số 1 đơn vị:

\(\frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{9}{8}+\frac{17}{16}+...+\frac{1 025}{1 024}\) 

 

2. Tính tổng một dãy phân số có quy luật

Ví dụ 1: Tính giá trị \(A=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}\) 

Phân tích: Nhận xét thấy mẫu số phân số sau hơn mẫu số phân số ngay trước là 2 lần. Như vậy khi ta nhân thêm 2 vào thì phân số phía sau sẽ trở thành phân số phía trước.

          Giải: Ta có \(A=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}\)            (1)

\(2\times A=2\times \left( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64} \right)\) 

\(2\times A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}\)                   (2)

Nhìn vào (1) và (2), chúng ta nhận xét thấy ở A và 2xA có rất nhiều phân số giống nhau, chỉ khác nhau phân số đầu tiên và phân số cuối cùng. Nếu ta trừ 2 vế cho nhau thì được:

\(2\times A-A=\left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32} \right)-\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64} \right)\) 

\(A=1-\frac{1}{64}=\frac{63}{64}\) 

Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức \(B=\frac{3}{2}+\frac{5}{4}+\frac{9}{8}+\frac{17}{16}+...+\frac{1 025}{1 024}\) 

Phân tích và giải: Ở bài này chúng ta quan sát tử số và mẫu số, ta thấy tử số đều hơn mẫu số 1 đơn vị.

Ta nhận xét thấy: \(\frac{3}{2}=1+\frac{1}{2}\) ; \(\frac{5}{4}=1+\frac{1}{4}\) ; …; \(\frac{1 025}{1 024}=1+\frac{1}{1 024}\) 

Vậy ta có: \(B=1+\frac{1}{2}+1+\frac{1}{4}+1+\frac{1}{8}+...+1+\frac{1}{1 024}\) 

Vì số  \(1 024=2\times2\times2\times\ldots\times2\) (có 10 thừa số 2) nên ta có:

\(B=\left( 1+1+1+...+1 \right)+\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{1 024} \right)\) 

Đến đây, ta đã đưa được bài toán về dạng đã xuất hiện ở ví dụ 1

\(B=10+A\) trong đó \(A=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{1 024}\) 

Ta có: \(2\times A=2\times \left( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{1 024} \right)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{512}\) 

\(A=2\times A-A=\left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{512} \right)-\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{1 024} \right)\) 

\(A=1-\frac{1}{1 024}=\frac{1 023}{1 024}\) 

Vậy \(B=10+\frac{1 023}{1 024}=\frac{11 263}{1 024}\) 

Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức \(C=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{4\times 5}+...+\frac{1}{99\times 100}\) 

Phân tích: Các phân số có tử không đổi và đúng bằng hiệu hai thừa số dưới mẫu.

Ta có:

Vậy:

 \(C=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{98}-\frac{1}{99}+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\) .

\(C=\frac{1}{1}-\frac{1}{100}\) 

\(C=\frac{99}{100}\) 

Ví dụ 4: Tìm \(x\)  biết: \(\frac{7}{x}+\frac{4}{5\times 9}+\frac{4}{9\times 13}+\frac{4}{13\times 17}+...+\frac{4}{41\times 45}=\frac{29}{45}\) 

Phân tích: Các số hạng \(\frac{4}{5\times 9}+\frac{4}{9\times 13}+\frac{4}{13\times 17}+...+\frac{4}{41\times 45}\)  là dãy phân số có tử không đổi và đúng bằng hiệu hai thừa số dưới mẫu.

Ta có:

Vậy

\(\begin{align} & \frac{7}{x}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{13}+\frac{1}{13}-\frac{1}{17}+...+\frac{1}{41}-\frac{1}{45}=\frac{29}{45}\ & & & & & & & \end{align}\) 

\(\frac{7}{x}+\frac{1}{5}-\frac{1}{45}=\frac{29}{45}\ \)  

\(\frac{7}{x}=\frac{29}{45}+\frac{1}{45}-\frac{1}{5}\ \)  

\(\frac{7}{x}=\frac{30}{45}-\frac{1}{5}\ \)    

\(\frac{7}{x}=\frac{2}{3}-\frac{1}{5}\ \) 

\(\frac{7}{x}=\frac{10}{15}-\frac{3}{15}\ \) 

\(\frac{7}{x}=\frac{7}{15}\ \) 

\(x=15\ \)   

Dạng tổng quát cho các phân số có mẫu số là tích của hai số cách nhau a đơn vị, trên tử số cần a đơn vị để đưa về công thức:

Ví dụ 5: Tính

a) \(A=\frac{10}{7\times 12}+\frac{10}{12\times 17}+\frac{10}{17\times 22}+...+\frac{10}{502\times 507}\) 

Nhận xét: 7 và 12 cách nhau 5 đơn vị, ta cần biến đối để tử số là 5.

 \(A=\frac{10}{7\times 12}+\frac{10}{12\times 17}+\frac{10}{17\times 22}+...+\frac{10}{502\times 507}\)  

\(\begin{align} & =2\times\left(\frac{5}{7\times12}+\frac{5}{12\times17}+\frac{5}{17\times22}+...+\frac{5}{502\times507}\right) & \end{align}\)   

\(\ =2\times\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{12}+\frac{1}{12}-\frac{1}{17}+\frac{1}{17}-\frac{1}{22}+...+\frac{1}{502}-\frac{1}{507}\right)\ \)

\(\begin{align} & =2\times\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{507}\right) & & \end{align}\) 

\(\ =2\times\left(\frac{507}{3 549}-\frac{7}{3 549}\right)\) 

\(\ =2\times\frac{500}{3 549}=\frac{1 000}{3 549}\ \)  

b) .\(B=\frac{1}{6\times 10}+\frac{1}{10\times 14}+\frac{1}{14\times 18}+...+\frac{1}{402\times 406}\) 

Nhận xét: 6 và 10 cách nhau 4 đơn vị, ta cần biến đổi để tử số là 4.

 \(B=\frac{1}{6\times 10}+\frac{1}{10\times 14}+\frac{1}{14\times 18}+...+\frac{1}{402\times 406}\)   

\(\begin{align} & =\frac{1}{4}\times\left(\frac{4}{6\times10}+\frac{4}{10\times14}+\frac{4}{14\times18}+...+\frac{4}{402\times406}\right) & & & \end{align}\) 

\(\ =\frac{1}{4}\times\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{10}+\frac{1}{10}-\frac{1}{14}+\frac{1}{14}-\frac{1}{18}+...+\frac{1}{402}-\frac{1}{406}\right)\ \) 

\(=\frac{1}{4}\times\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{406}\right)=\frac{1}{4}\times\left(\frac{203}{1 218}-\frac{3}{1 218}\right)\) 

\(\ =\frac{1}{4}\times\frac{200}{1 218}=\frac{1}{4}\times\frac{100}{609}=\frac{25}{609}\ \)  

c) \(C=\frac{2}{1\times 4}+\frac{2}{4\times 7}+\frac{2}{7\times 10}+...+\frac{2}{49\times 52}+\frac{2}{52\times 55}\) 

Nhận xét: 1 và 4 cách nhau 3 đơn vị, ta cần biến đổi để tử số là 3. 

\(C=\frac{2}{1\times 4}+\frac{2}{4\times 7}+\frac{2}{7\times 10}+...+\frac{2}{49\times 52}+\frac{2}{52\times 55}\)

\(=\frac{2}{3}\times \left( \frac{3}{1\times 4}+\frac{3}{4\times 7}+\frac{3}{7\times 10}+...+\frac{3}{49\times 52}+\frac{3}{52\times 55} \right)\)

\(=\frac{2}{3}\times \left( \frac{1}{1}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{52}+\frac{1}{52}-\frac{1}{55} \right)\) 

\(=\frac{2}{3}\times \left( \frac{1}{1}-\frac{1}{55} \right)\) 

\(=\frac{2}{3}\times \frac{54}{55}\) 

 \(=\frac{36}{55}\)