Bất đẳng thức

1. Nhắc lại thứ tự trong tập hợp số thực

• Nếu số thực a nhỏ hơn số thực b thì ta viết a<b hay b>a. 
• Số thực lớn hơn 0 gọi là số thực dương.
• Số thực nhỏ hơn 0 gọi là số thực âm.
• Trên trục số nằm ngang, nếu số thực a nằm bên trái số thực b thì a<b hay b>a.
• Tổng của hai số thực dương là số thực dương. Tổng của hai số thực âm là số thực âm.
• Với hai số thực a,b, ta có:

ab>0 thì a,b cùng dấu (hay cùng dương hoặc cùng âm) và ngược lại.

ab<0 thì a,b trái dấu và ngược lại.

• Với hai số thực a,b dương, nếu a>b thì √a>√b và ngược lại. 

2. Khái niệm bất đẳng thức

Ta gọi hệ thức dạng a>b (hay a<b,a≥b,a≤b ) là bất đẳng thức và gọi a  là vế trái, b  là vế phải của bất đẳng thức.

Chú ý:

Hai bất đẳng thức a<b và c<d (hay a>b  và c>d ) được gọi là bất đẳng thức cùng chiều.

Hai bất đẳng thức a<b  và c>d  (hay a>b và c<d ) được gọi là bất đẳng thức ngược chiều.

3. Tính chất bất đẳng thức

a. Tính chất bắc cầu

Cho ba số a,b,c. Nếu a>b và b>c thì a>c. 

Chú ý: Tính chất bắc cầu vẫn đúng với các bất đẳng thức có dấu <,≤,≥. 

b. Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Cho ba số a,b,c. Nếu a>b thì a+c>b+c.  

Chú ý: Tính chất vẫn đúng với các bất đẳng thức có dấu <,≤,≥. 

c. Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Cho ba số a,b,c và a>b 

Nếu c>0 thì a.c>b.c.  

Nếu c<0 thì a.c<b.c.  

Chú ý: Tính chất vẫn đúng với các bất đẳng thức có dấu <,≤,≥.