Nguyên hàm của một số hàm sơ cấp

1. Định nghĩa

Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên K với K là một khoảng, một đoạn hay một nửa khoảng. Hàm số F được gọi là một nguyên hàm của f trên K nếu: F′(x)=f(x),∀x∈K 

Chú ý 1: 

• Họ các nguyên hàm của f trên K, kí hiệu ∫f(x)dx. Nếu F là một nguyên hàm của hàm số f trên K thì mọi nguyên hàm của f đều có dạng F(x)+C, với C∈R .Vậy ∫f(x)dx=F(x)+C.  
• Nếu hàm số G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C nào đó sao cho G(x)=F(x)+C  với mọi x∈K.  

Chú ý 2:

• Để tìm họ các nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số f(x)  trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K. Khi đó: ∫f(x)dx=F(x)+C,C  là hằng số.
• Nếu hàm số f(x) liên tục trên khoảng K thì f(x) có nguyên hàm trên khoảng đó.
• Biểu thức f(x)dx  gọi là vi phân của nguyên hàm F(x) được ký hiệu là dF(x). Khi đó: dF(x)=F′(x)dx=f(x)dx   
• Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập K, ta hiểu là tìm nguyên hàm của hàm số đó trên tập xác định của nó.

2. Các tính chất cơ bản của nguyên hàm

Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên K thì ta có các tính chất sau:

⊕(∫f(x)dx)′=f(x)                                                      ⊕∫kf(x)dx=k∫f(x)dx với k=0 

 ⊕∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx                 ⊕∫[f(x)−g(x)]dx=∫f(x)dx−∫g(x)dx. 

3. Bảng công thức nguyên hàm của một số thường gặp

Đạo hàm	Nguyên hàm	Nguyên hàm mở rộng (đọc thêm)
(x)′=1	∫1dx=x+C
(xα+1)′=(α+1)xα	∫xαdx=α+1xα+1​+C,α=−1	∫(ax+b)αdx=a1​⋅α+1(ax+b)α+1​+C,α=−1
(x1​)′=−x21​	∫x21​   dx=−x1​+C	∫(ax+b)2dx​=−a1​⋅ax+b1​+C
(ax)′=ax.lna	∫ax   dx=lnaax​+C	∫amx+n   dx=m1​⋅lnaamx+n​+C
(ex)′=ex	∫ex   dx=ex+C	∫eax+b   dx=a1​eax+b+C
(lnx)′=x1​	∫x1​   dx=ln∣x∣+C	∫ax+b1​   dx=a1​.ln∣ax+b∣+C
(sinx)′=cosx	∫cosx   dx=sinx+C	∫cos(ax+b)dx=a1​.sin(ax+b)+C
(cosx)′=−sinx	∫sinx   dx=−cosx+C	∫sin(ax+b)dx=−a1​cos(ax+b)+C
(tanx)′=cos2x1​	∫cos2x1​   dx=tanx+C	∫cos2(ax+b)1​dx=a1​tan(ax+b)+C
(cotx)′=−sin2x1​	∫sin2x1​   dx=−cotx+C	∫sin2(ax+b)1​dx=−a1​cot(ax+b)+C .