Tiệm cận của đồ thị hàm số

1. Đường tiệm cận ngang

Định nghĩa: Đường thẳng y=m được gọi là một đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số f(x) nếu:

x→−∞lim​f(x)=m hoặc x→+∞lim​f(x)=m 

Đường thẳng y=m là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=f(x) được minh hoạ như hình vẽ dưới đây

a) x→−∞lim​f(x)=m 

b) x→+∞lim​f(x)=m 

Các bước tìm đường tiệm cận ngang:

Bước 1: Tính giới hạn x→−∞lim​f(x) và x→+∞lim​f(x) 

Bước 2: Xem ở “vị trí ” nào ra kết quả hữu hạn thì ta kết luận có tiệm cận ngang ở “vị trí” đó

2. đường tiệm cận Đứng (TCĐ)

Định nghĩa: Đường thẳng x=a gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y=f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

x→a−lim​f(x)=+∞ , x→a+lim​f(x)=+∞ , x→a−lim​f(x)=−∞ , x→a+lim​f(x)=−∞ 

Đường thẳng x=a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=f(x) được minh hoạ như hình vẽ dưới đây

 a) x→a−lim​f(x)=+∞                           b) x→a+lim​f(x)=+∞                c) x→a−lim​f(x)=−∞                   d) x→a+lim​f(x)=−∞ 

Các bước tìm đường tiệm cận đứng:

Bước 1: Tìm nghiệm của mẫu, giả sử nghiệm đó là x=x0​ 

Bước 2: Tính giới hạn một bên tại x=x0​.

Nếu xảy ra x→x0−​lim​f(x)=∞ hoặc x→x0+​lim​f(x)=∞ thì ta kết luận x=x0​ là đường tiệm cận đứng.

3. Đường tiệm cận xiên (TCX)

Định nghĩa: Đường thẳng y=ax+b(a=0) gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y=f(x) nếu:

x→−∞lim​[f(x)−(ax+b)]=0 hoặc x→+∞lim​[f(x)−(ax+b)]=0 

Đường thẳng y=ax+b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y=f(x) được minh hoạ như hình bên dưới:

 a) x→−∞lim​[f(x)−(ax+b)]=0                                                                      b) x→+∞lim​[f(x)−(ax+b)]=0 

Các bước tìm đường tiệm cận xiên: ta xác định hệ số của a  và b  trong các trường hợp sau

Bước 1: Tính a=x→+∞lim​xf(x)​ , b=x→+∞lim​[f(x)−ax] 

Bước 2: Tính a=x→−∞lim​xf(x)​ , b=x→−∞lim​[f(x)−ax]