1. Bài giảng: Công thức tính xác suất cổ điển
CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT
1. Quy tắc cộng
a. Quy tắc cộng xác suất
- Nếu hai biến cố \(A,B\) xung khắc nhau thì \(P\left( A\cup B \right)=P\left( A \right)+P\left( B \right)\)
- Nếu các biến cố \({{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},...,{{A}_{k}}\) xung khắc nhau thì \(P\left( {{A}_{1}}\cup {{A}_{2}}\cup ...\cup {{A}_{k}} \right)=P\left( {{A}_{1}} \right)+P\left( {{A}_{2}} \right)+...+P\left( {{A}_{k}} \right)\)
b. Công thức tính xác suất biến cố đối
- Xác suất của biến cố \(\overline{A}\) của biến cố \(A\) là \(P\left( \overline{A} \right)=1-P\left( A \right)\)
2. Quy tắc nhân xác suất
Quy tắc nhân xác suất
Nếu \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập thì \(P\left( AB \right)=P\left( A \right).P\left( B \right)\)
Một cách tổng quát, nếu \(k\) biến cố \({{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},...,{{A}_{k}}\) là độc lập thì \(P\left( {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},...,{{A}_{k}} \right)=P\left( {{A}_{1}} \right).P\left( {{A}_{2}} \right)...P\left( {{A}_{k}} \right)\)
Nếu \(A\) và \(B\) độc lập thì \(A\) và \(\overline{B}\) độc lập, \(B\) và \(\overline{A}\) độc lập, \(\overline{B}\) và \(\overline{A}\) độc lập. Do đó Nếu \(A\) và \(B\) độc lập thì ta còn có các đẳng thức
\(\begin{align} & P\left( A\overline{B} \right)=P\left( A \right).P\left( \overline{B} \right) \\ & P\left( \overline{A}B \right)=P\left( \overline{A} \right).P\left( B \right) \\ & P\left( \overline{A}\overline{B} \right)=P\left( \overline{A} \right).P\left( \overline{B} \right) \\ \end{align}\)
Nếu một trong các đẳng thức trên bị vi phạm thì hai biến cố \(A\) và \(B\) không độc lập với nhau
2. Ví dụ minh hoạ: Công thức tính xác suất cổ điển
Ví dụ 1:
Giả sử tỉ lệ giới tính khi sinh ở Việt Nam là \(105\) bé trai trên \(100\) bé gái. Khi đó xác suất hai đứa trẻ sinh ra có cùng giới tính xấp xỉ bằng
Lời giải:
Xác suất sinh ra bé trai là \(p\approx \frac{105}{100+105}=\frac{21}{41}\).
Gọi \(A\) là biến cố “Hai đứa trẻ sinh ra có cùng giới tính”.
+ TH1: Xác suất hai đứa trẻ sinh ra đều là bé trai là \(p.p={{p}^{2}}\).
+ TH2: Xác suất hai đứa trẻ sinh ra đều là bé gái là \(\left( 1-p \right).\left( 1-p \right)={{\left( 1-p \right)}^{2}}\).
Suy ra xác suất 2 đứa trẻ sinh ra có cùng giới tính là \(p\left( A \right)={{p}^{2}}+{{\left( 1-p \right)}^{2}}\approx 0,5003\).
Ví dụ 2:
Cho \(15\) số tự nhiên từ \(1\) đến \(15\) , chọn ngẫu nhiên \(3\) số tự nhiên trong \(15\) số tự nhiên đó. Gọi \(A\) là biến cố “tổng của \(3\) số được chọn chia hết cho \(3\) ”. Số kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là
Lời giải:
Chia \(15\) số tự nhiên từ \(1\) đến \(15\) thành \(3\) tập hợp \(M=\left\{ 1;4;7;10;13 \right\}\) , \(N=\left\{ 2;5;8;11;14 \right\}\) và \(P=\left\{ 3;6;9;12;15 \right\}\) .
Để tổng của 3 số chia hết cho 3 thì
Trường hợp \(1\) : \(3\) số đều thuộc tập \(M\) có \(\text{C}_{5}^{3}\) khả năng.
Trường hợp \(2\) : \(3\) số đều thuộc tập \(N\) có \(\text{C}_{5}^{3}\) khả năng.
Trường hợp \(3\) : \(3\) số đều thuộc tập \(P\) có \(\text{C}_{5}^{3}\) khả năng.
Trường hợp \(4\) : \(1\) số thuộc tập \(M\) , 1 số thuộc tập \(N\) và 1 số thuộc tập \(P\) có \(\text{C}_{5}^{1}\cdot \text{C}_{5}^{1}\cdot \text{C}_{5}^{1}\) khả năng.
Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là \(3\cdot \text{C}_{5}^{3}+{{\left( \text{C}_{5}^{1} \right)}^{3}}=155\) .
3. Luyện tập củng cố: Công thức tính xác suất cổ điển
Học đi đôi với hành, luyện tập hàng ngày để trở nên thông thái
Luyện tập ngay