HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

I. Giá trị lượng giác của một góc

1. Định nghĩa:

Với mỗi góc \(\alpha \text{ }\left( {{0}^{0}}\le \alpha \le {{180}^{0}} \right)\) ta xác định một điểm \(M\) trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat{xOM}\,=\alpha\) và giả sử điểm \(M\) có tọa độ \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right).\) 

Khi đó ta có định nghĩa:

sin của góc \(\alpha \) là \({{y}_{0}},\) kí hiệu \(\sin \alpha ={{y}_{0}};\)  cosin của góc \(\alpha \) là \({{x}_{0}},\) kí hiệu \(\cos \alpha ={{x}_{0}};\)  tang của góc \(\alpha \) là \(\frac{{{y}_{0}}}{{{x}_{0}}}\left( {{x}_{0}}\ne 0 \right),\)  kí hiệu \(\tan \alpha =\frac{{{y}_{0}}}{{{x}_{0}}};\)  côtang của góc \(\alpha \) là \(\frac{{{x}_{0}}}{{{y}_{0}}}\left( {{y}_{0}}\ne 0 \right),\)  kí hiệu \(\cot \alpha =\frac{{{x}_{0}}}{{{y}_{0}}}.\)

Từ định nghĩa trên, ta có:

2. Tính chất:

Hai góc bù nhau: Trên hình bên ta có dây cung \(NM\) song song với trục \(Ox\)  và nếu \(\widehat{xOM}\,\,=\alpha\) thì \(\widehat{xON}\,={{180}^{\circ}}-\alpha.\) Ta có \({{y}_{M}}={{y}_{N}}={{y}_{0}},{{x}_{M}}=-{{x}_{N}}={{x}_{0}}.\) Do đó

\(\text{sin}\left( {{180}^{\circ }}-\alpha \right)=\text{sin}\alpha \)                                 \(\text{cos}\left( {{180}^{\circ }}-\alpha \right)=-\text{cos}\alpha \) 

\(\text{tan}\left( {{180}^{\circ }}-\alpha \right)=-\text{tan}\alpha \)                             \(\text{cot}\left( {{180}^{\circ }}-\alpha \right)=\text{cot}\alpha \) 

II. Hệ thức lượng trong tam giác

1. Định lý Côsin

Cho tam giác \(ABC\)  có \(BC=a,AC=b\)  và \(AB=c\text{.}\) Ta có

• \({{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cos A.\) 
• \({{b}^{2}}={{c}^{2}}+{{a}^{2}}-2ca\cos B.\) 
• \({{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\cos C.\) 

Hệ quả: Áp dụng để tính góc

• \(\cos A=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}.\) 
• \(\cos B=\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ca}.\) 
•  \(\cos C=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab}.\) 

2. Định lý sin:

Tam giác \(ABC \) với \(BC=a,CA=b,AB=c \) và \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có: \(\frac{a}{\text{sin}A}=\frac{b}{\text{sin}B}=\frac{c}{\text{sin}C}=2R\) 

3. Công thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác \(ABC\) có

• \({{h}_{a}},\,\,{{h}_{b}},\,\,{{h}_{c}}\) là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh \(BC,\text{ }CA,\text{ }AB;\) 
• \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;
• \(r\) là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác;
• \(p=\frac{a+b+c}{2}\)  là nửa chu vi tam giác;
• \(S\) là diện tích tam giác. Khi đó ta có:

• \(S=\frac{1}{2}a\cdot {{h}_{a}}=\frac{1}{2}b\cdot {{h}_{b}}=\frac{1}{2}c\cdot {{h}_{c}}.\) 
• \(S=\frac{1}{2}bc\text{sin}A=\frac{1}{2}ca\text{sin}B=\frac{1}{2}ab\text{sin}C\) 
• \(S=\frac{abc}{4R}.\) 
• \(S=p\cdot r\) 
• \(S=\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}.\)