BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

I. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• x,y là bất phương trình có một trong các dạng: ax+by+c<0;ax+by+c>0;ax+by+c≤0;ax+by+c≥0  trong đó a,b,c là những số cho trước; a,b không đồng thời bằng 0 và x là các ẩn.
• Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp các điểm (x0​;y0​) sao cho ax0​+by0​+c<0 được gọi là miền nghiệm của bất phương trình ax0​+by0​+c<0. 

2. Nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• Xét bất phương trình ax+by+c<0. Mỗi cập số (x0​;y0​) thoả mãn ax0​+by0​+c<0 được gọi là một nghiệm của bất phương trình đã cho. 

3. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• Ta có thể biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax+by+c<0. như sau:

Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng Δ: ax+by+c=0. 

Bước 2: Lấy một điểm (x0​;y0​) không thuộc Δ. Tính ax0​+by0​+c. 

Bước 3: Kết luận

• Nếu ax0​+by0​+c<0 thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ Δ) chứa điểm (x0​;y0​). 
• Nếu ax0​+by0​+c>0 thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ Δ) không chứa điểm (x0​;y0​). 

Chú ý: Đối với các bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng ax+by+c≤0 (hoặc ax+by+c≥0 ) thì miền nghiệm là miền nghiệm của bất phương trình ax+by+c<0 (hoặc ax+by+c>0 ) kể cả bờ.

II. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
• Cặp số (x0​;y0​)  là nghiệm của một hệ BPT bậc nhất hai ẩn khi (x0​;y0​)  đồng thời là nghiệm của tất cả các BPT trong hệ đó.

2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phằng tọa độ

• Biểu diễn miền nghiệm của một hệ BPT bậc nhất hai ẩn:

Bước 1: Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ bằng cách gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm của nó.

Bước 2: Phần không bị gạch là miền nghiệm của hệ BPT.

3. Áp dụng vào bài toán thực tiễn

• Cho hệ BPT bậc nhất hai ẩn x,y có miền nghiệm là miền đa giác A1​A2​…An​.
• Khi đó: Giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biể thức T(x;y)=mx+ny , với (x;y)  là tọa độ các điểm thuộc miền đa giác A1​A2​…  A đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.

Phương pháp

Bước 1: Tìm miền đa giác A1​A2​...Ai​Ai+1​...An​  là miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Bước 2: Tìm tọa độ các đỉnh A1​ , A2​ ,..., An​ .

Bước 3:Tính F(xi​ ; yi​) trong đó Ai​(xi​ ; yi​)  với i=1 , 2 ,..., n 

Bước 4: Kết luận

• Giá trị lớn nhất M=i=1,2,...nmax​F(xi​ , yi​). 
• Giá trị lớn nhất m=i=1,2,...nmin​F(xi​ , yi​).