Cho hình chóp S.ABCD  có đáy là hình thoi cạnh 2a , ABC=600 , SA=a√3  và SA⊥(ABCD) .

Tính góc giữa SA  và mặt phẳng (SBD) .

Gọi O  là tâm của hình thoi ABCD , gọi H  là hình chiếu vuông góc của A  lên SO , ta có:

{​BD⊥ACBD⊥SA​⇒BD⊥(SAC)⇒BD⊥AH .

Từ AH⊥SO,AH⊥BD  suy ra AH⊥(SBD) , hay SH  là hình chiếu vuông góc của SA  lên (SBD) ,

Suy ra (SA,(SBD))​=(SA,SO)​=ASO .

Ta có ΔABC  đều cạnh 2a  nên OA=a .

ΔSAO  vuông tại A  nên tanASO=SAOA​=√31​⇒AOS=30∘ .

Cho hình chóp S.ABCD  có đáy ABCD  là hình vuông tâm O , cạnh bằng 4a , cạnh bên SA=3a .

Hình chiếu vuông góc của đỉnh S  lên mặt phẳng (ABCD)  là trung điểm H  của đoạn thẳng AO .

Gọi α  là góc giữa đường thẳng SH  và mặt phẳng (SBD) .

Tính sinα .

Ta có: SH⊥(ABCD) , gọi K  là hình chiếu của điểm H  xuống cạnh SO .

Do {​BD⊥AOBD⊥SH​⇒BD⊥(SHO)⇒BD⊥HK .

Khi đó{​HK⊥SOHK⊥BD​⇒HK⊥(SBD) , suy ra KS  là hình chiếu SH  xuống mặt phẳng (SBD) . Do đó góc giữa đường thẳng SH  và mặt phẳng (SBD)  bằng HSK .

AH=HO=a√2;SH=a√7;HK=√SH2+SO2​SH.HO​=3a√14​ 

Trong tam giác HKS , sinHSK=SHHK​=3a√14​:a√7=3√2​ .