1. Bài giảng: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến
PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ ĐA THỨC MỘT BIẾN
Phép cộng và phép trừ đa thức một biến
a) Phép cộng hai đa thức một biến
Cho hai đa thức \(A=3{{x}^{4}}+5{{x}^{2}}-8x+1\) và \(B=-5{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+2\)
Tính tổng \(A+B\) ta có hai cách như sau:
Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc:
\(A+B=\left( 3{{x}^{4}}+5{{x}^{2}}-8x+1 \right)+\left( -5{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+2 \right)\)
\(=3{{x}^{4}}+5{{x}^{2}}-8x+1-5{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+2\)
\(=\left( 3{{x}^{4}}-5{{x}^{4}} \right)+{{x}^{3}}+\left( 5{{x}^{2}}-5{{x}^{2}} \right)-8x+\left( 1+2 \right)\)
\(=-2{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-8x+3\)
Vậy \(A+B=-2{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-8x+3.\)
Đặt tính cộng sao cho các hạng tử cùng bậc đặt thẳng cột với nhau rồi cộng theo từng cột:
Vậy \(A+B=-2{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-8x+3.\)
Phép cộng đa thức cũng có các tính chất như phép cộng các số thực.
- Tính chất giao hoán: \(A+B=B+A\)
- Tính chất kết hợp: \(\left( A+B \right)+C=A+\left( B+C \right)\)
- Cộng với đa thức không: \(A+0=0+A=A\)
b) Phép trừ hai đa thức một biến
Cho hai đa thức \(A=3{{x}^{4}}+5{{x}^{2}}-8x+1\) và \(B=-5{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+2\)
Tính hiệu \(A-B\) ta có hai cách như sau:
Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc:
\(A-B=\left( 3{{x}^{4}}+5{{x}^{2}}-8x+1 \right)-\left( -5{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+2 \right)\)
\(=3{{x}^{4}}+5{{x}^{2}}-8x+1+5{{x}^{4}}-{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}-2\)
\(=\left( 3{{x}^{4}}+5{{x}^{4}} \right)-{{x}^{3}}+\left( 5{{x}^{2}}+5{{x}^{2}} \right)-8x+\left( 1-2 \right)\)
\(=8{{x}^{4}}-{{x}^{3}}+10{{x}^{2}}-8x-1\)
Vậy \(A-B=8{{x}^{4}}-{{x}^{3}}+10{{x}^{2}}-8x-1.\)
Đặt tính trừ sao cho các hạng tử cùng bậc đặt thẳng cột với nhau rồi trừ theo từng cột:
Vậy \(A-B=8{{x}^{4}}-{{x}^{3}}+10{{x}^{2}}-8x-1.\)
Tương tự như các số, đối với các đa thức \(P,\,Q,\,R\) ta cũng có:
- Nếu \(Q+R=P\) thì \(R=P-Q.\)
- Nếu \(R=P-Q\) thì \(Q+R=P.\)
2. Ví dụ minh hoạ: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến
Ví dụ 1:
Tìm \(R\left( x \right)\) biết \(R\left( x \right)-P\left( x \right)=Q\left( x \right)\) biết \(P\left( x \right)=5{{x}^{5}}+4{{x}^{2}}+3x+6-4{{x}^{4}}-2{{x}^{3}}\) và \(Q\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2{{x}^{4}}-x+\frac{3}{4}-2{{x}^{3}}-{{x}^{5}}.\)
Lời giải:
Ta có: \(R\left( x \right)-P\left( x \right)=Q\left( x \right)\)
Nên \(R\left( x \right)=Q\left( x \right)+P\left( x \right)\)
\(=\left( 3{{x}^{2}}+2{{x}^{4}}-x+\frac{3}{4}-2{{x}^{3}}-{{x}^{5}} \right)+\left( 5{{x}^{5}}+4{{x}^{2}}+3x+6-4{{x}^{4}}-2{{x}^{3}} \right)\)
\(=3{{x}^{2}}+2{{x}^{4}}-x+\frac{3}{4}-2{{x}^{3}}-{{x}^{5}}+5{{x}^{5}}+4{{x}^{2}}+3x+6-4{{x}^{4}}-2{{x}^{3}}\)
\(=\left( -{{x}^{5}}+5{{x}^{5}} \right)+\left( 2{{x}^{4}}-4{{x}^{4}} \right)+\left( -2{{x}^{3}}-2{{x}^{3}} \right)+\left( 3{{x}^{2}}+4{{x}^{2}} \right)+\left( -x+3x \right)+\left( \frac{3}{4}+6 \right)\)
\(=4{{x}^{5}}-2{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}+2x+\frac{27}{4}\)
Vậy \(R\left( x \right)=4{{x}^{5}}-2{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}+2x+\frac{27}{4}\)
Ví dụ 2:
Tìm \(P\left( x \right)\) biết: \(P\left( x \right)+Q\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x+5\) và \(P\left( x \right)-Q\left( x \right)={{x}^{2}}+2x-3.\)
Lời giải:
Ta có: \(P\left( x \right)+Q\left( x \right)+P\left( x \right)-Q\left( x \right)=\left( 3{{x}^{2}}-6x+5 \right)+\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)\)
Khi đó: \(2P\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x+5+{{x}^{2}}+2x-3\)
\(=\left( 3{{x}^{2}}+{{x}^{2}} \right)+\left( -6x+2x \right)+\left( 5-3 \right)\)
\(=4{{x}^{2}}-4x+2\)
Nên \(P\left( x \right)=2{{x}^{2}}-2x+1\)
3. Luyện tập củng cố: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến
Học đi đôi với hành, luyện tập hàng ngày để trở nên thông thái
Luyện tập ngay