Dãy phân số có quy luật

1. Các quy luật dãy phân số thường gặp:

+ Mẫu số của phân số liền sau gấp mẫu số phân số liền trước cùng một số lần:

21​+41​+81​+...+1 0241​+2 0481​+4 0961​ 

+ Mẫu số là tích của hai số liên tiếp:

1×21​+2×31​+3×41​+4×51​+...+99×1001​ 

+ Mẫu số là tích của hai số cách nhau a đơn vị:

  6×101​+10×141​+14×181​+...+402×4061​  

+ Dãy phân số mà mỗi phân số có tử số hơn mẫu số 1 đơn vị:

23​+45​+89​+1617​+...+1 0241 025​ 

 

2. Tính tổng một dãy phân số có quy luật

Ví dụ 1: Tính giá trị A=21​+41​+81​+161​+321​+641​ 

Phân tích: Nhận xét thấy mẫu số phân số sau hơn mẫu số phân số ngay trước là 2 lần. Như vậy khi ta nhân thêm 2 vào thì phân số phía sau sẽ trở thành phân số phía trước.

          Giải: Ta có A=21​+41​+81​+161​+321​+641​            (1)

2×A=2×(21​+41​+81​+161​+321​+641​) 

2×A=1+21​+41​+81​+161​+321​                   (2)

Nhìn vào (1) và (2), chúng ta nhận xét thấy ở A và 2xA có rất nhiều phân số giống nhau, chỉ khác nhau phân số đầu tiên và phân số cuối cùng. Nếu ta trừ 2 vế cho nhau thì được:

2×A−A=(1+21​+41​+81​+161​+321​)−(21​+41​+81​+161​+321​+641​) 

A=1−641​=6463​ 

Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức B=23​+45​+89​+1617​+...+1 0241 025​ 

Phân tích và giải: Ở bài này chúng ta quan sát tử số và mẫu số, ta thấy tử số đều hơn mẫu số 1 đơn vị.

Ta nhận xét thấy: 23​=1+21​ ; 45​=1+41​ ; …; 1 0241 025​=1+1 0241​ 

Vậy ta có: B=1+21​+1+41​+1+81​+...+1+1 0241​ 

Vì số  1 024=2×2×2×…×2 (có 10 thừa số 2) nên ta có:

B=(1+1+1+...+1)+(21​+41​+81​+...+1 0241​) 

Đến đây, ta đã đưa được bài toán về dạng đã xuất hiện ở ví dụ 1

B=10+A trong đó A=21​+41​+81​+...+1 0241​ 

Ta có: 2×A=2×(21​+41​+81​+...+1 0241​)=1+21​+41​+...+5121​ 

A=2×A−A=(1+21​+41​+...+5121​)−(21​+41​+81​+...+1 0241​) 

A=1−1 0241​=1 0241 023​ 

Vậy B=10+1 0241 023​=1 02411 263​ 

Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức C=1×21​+2×31​+3×41​+4×51​+...+99×1001​ 

Phân tích: Các phân số có tử không đổi và đúng bằng hiệu hai thừa số dưới mẫu.

Ta có:

Vậy:

 C=11​−21​+21​−31​+31​−41​+...+981​−991​+991​−1001​ .

C=11​−1001​ 

C=10099​ 

Ví dụ 4: Tìm x  biết: x7​+5×94​+9×134​+13×174​+...+41×454​=4529​ 

Phân tích: Các số hạng 5×94​+9×134​+13×174​+...+41×454​  là dãy phân số có tử không đổi và đúng bằng hiệu hai thừa số dưới mẫu.

Ta có:

Vậy

​x7​+51​−91​+91​−131​+131​−171​+...+411​−451​=4529​ ​​​​​​​​  

x7​+51​−451​=4529​    

x7​=4529​+451​−51​    

x7​=4530​−51​      

x7​=32​−51​   

x7​=1510​−153​   

x7​=157​   

x=15     

Dạng tổng quát cho các phân số có mẫu số là tích của hai số cách nhau a đơn vị, trên tử số cần a đơn vị để đưa về công thức:

Ví dụ 5: Tính

a) A=7×1210​+12×1710​+17×2210​+...+502×50710​ 

Nhận xét: 7 và 12 cách nhau 5 đơn vị, ta cần biến đối để tử số là 5.

 A=7×1210​+12×1710​+17×2210​+...+502×50710​  

​=2×(7×125​+12×175​+17×225​+...+502×5075​)​​    

 =2×(71​−121​+121​−171​+171​−221​+...+5021​−5071​) 

​=2×(71​−5071​)​​​  

 =2×(3 549507​−3 5497​)  

 =2×3 549500​=3 5491 000​   

b) .B=6×101​+10×141​+14×181​+...+402×4061​ 

Nhận xét: 6 và 10 cách nhau 4 đơn vị, ta cần biến đổi để tử số là 4.

 B=6×101​+10×141​+14×181​+...+402×4061​   

​=41​×(6×104​+10×144​+14×184​+...+402×4064​)​​​​  

 =41​×(61​−101​+101​−141​+141​−181​+...+4021​−4061​)   

=41​×(61​−4061​)=41​×(1 218203​−1 2183​)  

 =41​×1 218200​=41​×609100​=60925​    

c) C=1×42​+4×72​+7×102​+...+49×522​+52×552​ 

Nhận xét: 1 và 4 cách nhau 3 đơn vị, ta cần biến đổi để tử số là 3. 

C=1×42​+4×72​+7×102​+...+49×522​+52×552​

=32​×(1×43​+4×73​+7×103​+...+49×523​+52×553​)

=32​×(11​−41​+41​−71​+...+491​−521​+521​−551​) 

=32​×(11​−551​) 

=32​×5554​ 

 =5536​